与えられた条件 $p$ と $q$ について、命題 $p \implies q$ の真偽を集合を用いて調べる。 (2) $p: |x| > 3$, $q: |x| > 4$ (3) $p: m$ は 18 の約数, $q: m$ は 36 の約数

1. 問題の内容

与えられた条件 $p$ と $q$ について、命題 $p \implies q$ の真偽を集合を用いて調べる。

(2) $p: |x| > 3$, $q: |x| > 4$

(3) $p: m$ は 18 の約数, $q: m$ は 36 の約数

2. 解き方の手順

(2)

命題 $p \implies q$ の真偽を調べる。

$p$ を満たす $x$ の集合を $P$、$q$ を満たす $x$ の集合を $Q$ とする。

$P = \{ x \mid |x| > 3 \} = \{ x \mid x < -3 \text{ または } x > 3 \}$

$Q = \{ x \mid |x| > 4 \} = \{ x \mid x < -4 \text{ または } x > 4 \}$

$P$ と $Q$ を数直線上に表すと、$Q \subset P$ が成り立つ。

したがって、命題 $p \implies q$ は偽である。なぜなら例えば $x=3.5$ は $|x|>3$ を満たすが $|x|>4$ を満たさない。

また、真偽を集合を用いて調べる場合、$P \subset Q$ ならば命題 $p \implies q$ は真であり、$P \not\subset Q$ ならば偽である。この問題では $P \not\subset Q$ であるから、命題 $p \implies q$ は偽である。

(3)

命題 $p \implies q$ の真偽を調べる。

$p$ を満たす $m$ の集合を $P$、$q$ を満たす $m$ の集合を $Q$ とする。

$P = \{ m \mid m \text{ は } 18 \text{ の約数} \} = \{ 1, 2, 3, 6, 9, 18 \}$

$Q = \{ m \mid m \text{ は } 36 \text{ の約数} \} = \{ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 \}$

$P \subset Q$ であるから、命題 $p \implies q$ は真である。

3. 最終的な答え

(2) 偽

(3) 真