問題は、以下の4つの命題の真偽を判定することです。ここで、$x$ は実数、$n$ は整数とします。 (1) $x^2 = x \Rightarrow x = 1$ (2) $n$ が 4 の倍数 $\Rightarrow n^2$ が 8 の倍数 (3) $-7 < x < \sqrt{7} \Rightarrow x < 3$ (4) $|n| < 1 \Rightarrow n = 0$

1. 問題の内容

問題は、以下の4つの命題の真偽を判定することです。ここで、$x$ は実数、$n$ は整数とします。

(1) $x^2 = x \Rightarrow x = 1$

(2) $n$ が 4 の倍数 $\Rightarrow n^2$ が 8 の倍数

(3) $-7 < x < \sqrt{7} \Rightarrow x < 3$

(4) $|n| < 1 \Rightarrow n = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 = x \Rightarrow x = 1$

$x^2 = x$ を満たす $x$ は、$x^2 - x = 0$ より $x(x-1) = 0$ となり、$x = 0$ または $x = 1$ です。したがって、$x = 0$ は $x = 1$ ではないので、反例となります。

(2) $n$ が 4 の倍数 $\Rightarrow n^2$ が 8 の倍数

$n$ が 4 の倍数であるとき、$n = 4k$ ($k$ は整数) と表せます。

このとき、$n^2 = (4k)^2 = 16k^2 = 8(2k^2)$ となり、$n^2$ は 8 の倍数となります。

(3) $-7 < x < \sqrt{7} \Rightarrow x < 3$

$\sqrt{7} \approx 2.646$ であるので、$-7 < x < \sqrt{7}$ を満たす $x$ は常に $x < 3$ を満たします。

(4) $|n| < 1 \Rightarrow n = 0$

$|n| < 1$ を満たす整数 $n$ は、$-1 < n < 1$ です。この範囲の整数は $n = 0$ のみです。

3. 最終的な答え

(1) 偽

(2) 真

(3) 真

(4) 真