与えられた二つの命題について、それぞれの否定を述べ、元の命題とその否定の真偽を判定します。 (1) すべての実数 $x$ について、 $(x-1)^2 \ge 0$ (2) ある無理数 $y$ について、 $\frac{y}{3}$ は有理数

1. 問題の内容

与えられた二つの命題について、それぞれの否定を述べ、元の命題とその否定の真偽を判定します。

(1) すべての実数 $x$ について、 $(x-1)^2 \ge 0$

(2) ある無理数 $y$ について、 $\frac{y}{3}$ は有理数

2. 解き方の手順

(1)

- 命題の否定：「すべての〜」の否定は「ある〜」なので、否定は「ある実数 $x$ について $(x-1)^2 < 0$」となります。

- 元の命題の真偽：実数 $x$ について、$(x-1)^2$ は常に0以上になるので、元の命題は真です。

- 否定の真偽：$(x-1)^2$ が常に0以上なので、$(x-1)^2 < 0$ となる実数 $x$ は存在しません。よって、否定は偽です。

(2)

- 命題の否定：「ある〜」の否定は「すべての〜」なので、否定は「すべての無理数 $y$ について、$\frac{y}{3}$ は無理数」となります。

- 元の命題の真偽：$y = 3\sqrt{2}$ とすると、$y$ は無理数であり、$\frac{y}{3} = \frac{3\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2}$ となり、これは無理数なので、有理数ではありません。しかし、$y = 3$は無理数ではないため、この命題が真であるかどうかはすぐにはわかりません。$y=3\sqrt{2}$の場合、$y/3$は無理数です。しかし、$y=0$のとき、$y/3=0$は有理数です。$y=3\sqrt{2}$などの無理数なら$y/3$も無理数。しかし、元の命題は「ある」なので、$y/3$が有理数となる無理数$y$が存在すれば、この命題は真となります。

ここで、$\frac{y}{3}$が有理数であるとき、$y = 3r$ (rは有理数)となります。rが0でなければ、yは無理数になりえます。例えば、rが無理数$\sqrt{2}$のとき、$y = 3\sqrt{2}$となり、$y$は無理数ですが、$\frac{y}{3} = \sqrt{2}$は無理数になってしまいます。

したがって、$\frac{y}{3}$が有理数になるような無理数$y$を探します。もし、$y=3\sqrt{2}$なら$y/3 = \sqrt{2}$. 無理数。$y=3$ (無理数ではない). よって元の命題は偽。

- 否定の真偽：すべての無理数 $y$ について、$\frac{y}{3}$ は無理数。これは真。

3. 最終的な答え

(1)

- 否定：ある実数 $x$ について、 $(x-1)^2 < 0$

- 元の命題：真

- 否定：偽

(2)

- 否定：すべての無理数 $y$ について、$\frac{y}{3}$ は無理数

- 元の命題：偽

- 否定：真