問題は、与えられた命題の対偶を考え、その対偶が真であることを証明することにより、元の命題が真であることを示すものです。 (2) $x + y > 3 \implies x > 2$ (3) $n^2$ が 3 の倍数でないならば、$n$ は 3 の倍数でない。 (4) $n^3 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である。

1. 問題の内容

問題は、与えられた命題の対偶を考え、その対偶が真であることを証明することにより、元の命題が真であることを示すものです。

(2) $x + y > 3 \implies x > 2$

(3) $n^2$ が 3 の倍数でないならば、$n$ は 3 の倍数でない。

(4) $n^3 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である。

2. 解き方の手順

(2) の解答

まず、$x + y > 3 \implies x > 2$ の対偶を作ります。

対偶は「$x \leq 2 \implies x + y \leq 3$」となります。

ここで、$x = 2$ で $y = 2$ のとき、$x \leq 2$ であり、$x + y = 4 > 3$ となるので、対偶は偽です。

したがって、元の命題も偽です。

(3) の解答

与えられた命題「$n^2$ が 3 の倍数でないならば、$n$ は 3 の倍数でない」の対偶を作ります。

対偶は「$n$ が 3 の倍数ならば、$n^2$ は 3 の倍数である」となります。

$n$ が 3 の倍数であるとき、$n = 3k$ ($k$ は整数) と表せます。

このとき、$n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$ となり、$n^2$ は 3 の倍数となります。

したがって、対偶は真であり、元の命題も真です。

(4) の解答

与えられた命題「$n^3 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である」の対偶を作ります。

対偶は「$n$ が奇数ならば、$n^3 + 1$ は偶数である」となります。

$n$ が奇数であるとき、$n = 2k + 1$ ($k$ は整数) と表せます。

このとき、$n^3 + 1 = (2k + 1)^3 + 1 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 + 1 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 2 = 2(4k^3 + 6k^2 + 3k + 1)$ となり、$n^3 + 1$ は偶数となります。

したがって、対偶は真であり、元の命題も真です。

3. 最終的な答え

(2) の解答

命題は偽

(3) の解答

命題は真

(4) の解答

命題は真