1から200までの自然数について、(5) 7で割ると3余る数の和を求めます。

1. 問題の内容

1から200までの自然数について、(5) 7で割ると3余る数の和を求めます。

2. 解き方の手順

7で割ると3余る数は、$7k+3$ （$k$は整数）と表せます。

1から200までの自然数の中で、この条件を満たす数を探します。

最小の数は $7 \times 0 + 3 = 3$ です。

最大の数は、$7k+3 \le 200$ を満たす最大の $k$ を求めます。

$7k \le 197$ より、$k \le \frac{197}{7} \approx 28.14$ となるため、$k=28$ が最大です。

よって、最大の数は、$7 \times 28 + 3 = 196 + 3 = 199$ です。

数列は $3, 10, 17, \dots, 199$ となり、これは初項が3、公差が7の等差数列です。

項数 $n$ は、$7(n-1) = 199 - 3 = 196$ より、$n-1 = \frac{196}{7} = 28$ なので、$n = 29$ です。

等差数列の和の公式 $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ を用いて、和を計算します。

$S_{29} = \frac{29}{2}(3 + 199) = \frac{29}{2}(202) = 29 \times 101 = 2929$

3. 最終的な答え

2929