三角形ABCがあり、AB = 2, BC = $3\sqrt{2}$, cosB = $\frac{\sqrt{2}}{3}$である。 辺BC上にAB = ADとなるように点Dをとる。 (i) sinBの値を求めよ。 (ii) ACの長さを求めよ。 (iii) 三角形ACDの外接円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、AB = 2, BC = $3\sqrt{2}$, cosB = $\frac{\sqrt{2}}{3}$である。

辺BC上にAB = ADとなるように点Dをとる。

(i) sinBの値を求めよ。

(ii) ACの長さを求めよ。

(iii) 三角形ACDの外接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

(i) sinBの値を求める。

sin$^2$B + cos$^2$B = 1なので、sin$^2$B = 1 - cos$^2$Bである。

cosB = $\frac{\sqrt{2}}{3}$なので、cos$^2$B = $\frac{2}{9}$である。

したがって、sin$^2$B = 1 - $\frac{2}{9}$ = $\frac{7}{9}$である。

sinB > 0なので、sinB = $\sqrt{\frac{7}{9}}$ = $\frac{\sqrt{7}}{3}$である。

(ii) ACの長さを求める。

余弦定理より、AC$^2$ = AB$^2$ + BC$^2$ - 2AB・BC・cosBである。

AB = 2, BC = $3\sqrt{2}$, cosB = $\frac{\sqrt{2}}{3}$なので、

AC$^2$ = 2$^2$ + (3$\sqrt{2}$)$^2$ - 2・2・3$\sqrt{2}$・$\frac{\sqrt{2}}{3}$

= 4 + 18 - 8

= 14

AC > 0なので、AC = $\sqrt{14}$である。

(iii) 三角形ACDの外接円の半径を求める。

AD = AB = 2である。

BD = BC - DCである。

また、BC = $3\sqrt{2}$である。

三角形ABDにおいて、AD = AB = 2より、三角形ABDは二等辺三角形である。

∠ADB = ∠ABD = ∠Bである。

したがって、∠DAC = ∠ADC = ∠ADB = ∠Bである。

したがって、∠ADC = ∠Bである。

三角形ADCにおいて、∠ADC = ∠B、AC = $\sqrt{14}$、AD = 2なので、正弦定理より、

$\frac{AC}{sin∠ADC}$ = $\frac{AD}{sin∠ACD}$ = 2R

$\frac{\sqrt{14}}{sinB}$ = 2R

$\frac{\sqrt{14}}{\frac{\sqrt{7}}{3}}$ = 2R

$\sqrt{14}$・$\frac{3}{\sqrt{7}}$ = 2R

$\sqrt{2}$・3 = 2R

3$\sqrt{2}$ = 2R

R = $\frac{3\sqrt{2}}{2}$である。

3. 最終的な答え

(i) sinB = $\frac{\sqrt{7}}{3}$

(ii) AC = $\sqrt{14}$

(iii) 外接円の半径 = $\frac{3\sqrt{2}}{2}$