問題は以下の通りです。 直線 $l$ は $y = \frac{1}{3}x + 4$ のグラフ、直線 $m$ は $y = -\frac{2}{3}x + 7$ のグラフである。 $l$ と $m$ の交点を $A$ とする。$B$ は $A$ と $x$ 座標の等しい $x$ 軸上の点である。$P$ は $l$ 上の点、$Q$ は $m$ 上の点、$R$ は $x$ 軸上の点で、いずれも $x$ 座標は等しく、その値は $A$ の $x$ 座標よりも大きい。このとき、以下の問いに答える。 (1) 点 $A$ の座標を求めよ。 (2) $PQ = BR$ であることを証明せよ。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

直線 $l$ は $y = \frac{1}{3}x + 4$ のグラフ、直線 $m$ は $y = -\frac{2}{3}x + 7$ のグラフである。 $l$ と $m$ の交点を $A$ とする。$B$ は $A$ と $x$ 座標の等しい $x$ 軸上の点である。$P$ は $l$ 上の点、$Q$ は $m$ 上の点、$R$ は $x$ 軸上の点で、いずれも $x$ 座標は等しく、その値は $A$ の $x$ 座標よりも大きい。このとき、以下の問いに答える。

(1) 点 $A$ の座標を求めよ。

(2) $PQ = BR$ であることを証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) 点 $A$ の座標を求める。

点 $A$ は直線 $l$ と直線 $m$ の交点なので、$l$ と $m$ の式を連立させて解けばよい。

$\frac{1}{3}x + 4 = -\frac{2}{3}x + 7$

両辺に3をかける

$x + 12 = -2x + 21$

$3x = 9$

$x = 3$

$y = \frac{1}{3}(3) + 4 = 1 + 4 = 5$

したがって、点 $A$ の座標は $(3, 5)$ である。

(2) $PQ = BR$ であることを証明する。

$P, Q, R$ の $x$ 座標を $t$ とする。ただし $t > 3$ とする。

点 $P$ は $l$ 上の点なので、$P$ の $y$ 座標は $\frac{1}{3}t + 4$ である。したがって、$P(t, \frac{1}{3}t + 4)$

点 $Q$ は $m$ 上の点なので、$Q$ の $y$ 座標は $-\frac{2}{3}t + 7$ である。したがって、$Q(t, -\frac{2}{3}t + 7)$

点 $R$ は $x$ 軸上の点なので、$R(t, 0)$

したがって、$PQ = |(\frac{1}{3}t + 4) - (-\frac{2}{3}t + 7)| = |t - 3| = t - 3$ (なぜなら $t > 3$ より $t - 3 > 0$)

点 $B$ は、$A$ と $x$ 座標が同じで、$x$ 軸上の点なので、$B(3, 0)$

$BR = |t - 3| = t - 3$ (なぜなら $t > 3$ より $t - 3 > 0$)

したがって、$PQ = t - 3$ 、 $BR = t - 3$ であるから、$PQ = BR$ である。

3. 最終的な答え

(1) $A(3, 5)$

(2) (証明)

$P, Q, R$ の $x$ 座標を $t$ とする。ただし $t > 3$ とする。

$P(t, \frac{1}{3}t + 4)$

$Q(t, -\frac{2}{3}t + 7)$

$R(t, 0)$

$PQ = |(\frac{1}{3}t + 4) - (-\frac{2}{3}t + 7)| = |t - 3| = t - 3$

$B(3, 0)$

$BR = |t - 3| = t - 3$

したがって、$PQ = t - 3$ 、 $BR = t - 3$ であるから、$PQ = BR$ である。