半径1の円Oに内接する正n角形の頂点を$P_1, P_2, P_3, ..., P_n$とするとき、以下の問いに答える。 (1) $\angle P_{n-1}OP_n$ の大きさを求めよ。 (2) $\triangle OP_{n-1}P_n$ の面積を求めよ。 (3) 正n角形の面積を $S_n$ とするとき、$\lim_{n \to \infty} S_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

半径1の円Oに内接する正n角形の頂点を$P_1, P_2, P_3, ..., P_n$とするとき、以下の問いに答える。

(1) $\angle P_{n-1}OP_n$ の大きさを求めよ。

(2) $\triangle OP_{n-1}P_n$ の面積を求めよ。

(3) 正n角形の面積を $S_n$ とするとき、$\lim_{n \to \infty} S_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円の中心角は $2\pi$ ラジアンである。正n角形なので、中心角はn等分される。よって、$\angle P_{n-1}OP_n = \frac{2\pi}{n}$となる。

(2) $\triangle OP_{n-1}P_n$ の面積を求める。$OP_{n-1} = OP_n = 1$ (半径)であり、$\angle P_{n-1}OP_n = \frac{2\pi}{n}$ である。三角形の面積の公式から、面積は $\frac{1}{2} \cdot OP_{n-1} \cdot OP_n \cdot \sin(\angle P_{n-1}OP_n) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin(\frac{2\pi}{n}) = \frac{1}{2}\sin(\frac{2\pi}{n})$ となる。

(3) 正n角形の面積 $S_n$ は、合同な二等辺三角形 $\triangle OP_{n-1}P_n$ がn個集まったものである。したがって、$S_n = n \cdot \frac{1}{2}\sin(\frac{2\pi}{n}) = \frac{n}{2}\sin(\frac{2\pi}{n})$となる。$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2}\sin(\frac{2\pi}{n})$ を求める。

$x = \frac{1}{n}$ とおくと、$n \to \infty$ のとき $x \to 0$ である。

$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{2}\sin(\frac{2\pi}{n}) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2x}\sin(2\pi x) = \lim_{x \to 0} \pi \frac{\sin(2\pi x)}{2\pi x}$

ここで、$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$ を用いると、

$\lim_{x \to 0} \pi \frac{\sin(2\pi x)}{2\pi x} = \pi \cdot 1 = \pi$となる。

3. 最終的な答え

(1) $\angle P_{n-1}OP_n = \frac{2\pi}{n}$

(2) $\triangle OP_{n-1}P_n = \frac{1}{2}\sin(\frac{2\pi}{n})$

(3) $\lim_{n \to \infty} S_n = \pi$