与えられた方程式 $4x^2 + y^2 + 2y - 3 = 0$ が表す図形を特定し、その標準形を求める。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $4x^2 + y^2 + 2y - 3 = 0$ が表す図形を特定し、その標準形を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y$に関する項を平方完成させる。

$4x^2 + (y^2 + 2y) - 3 = 0$

$(y^2 + 2y + 1) - 1 = (y+1)^2 - 1$ であるから、

$4x^2 + (y+1)^2 - 1 - 3 = 0$

$4x^2 + (y+1)^2 = 4$

両辺を4で割る。

$\frac{4x^2}{4} + \frac{(y+1)^2}{4} = \frac{4}{4}$

$x^2 + \frac{(y+1)^2}{4} = 1$

$\frac{x^2}{1^2} + \frac{(y+1)^2}{2^2} = 1$

これは楕円の方程式である。楕円の中心は$(0, -1)$であり、長軸は$y$軸に平行で、長さは$2 \times 2 = 4$、短軸は$x$軸に平行で、長さは$2 \times 1 = 2$である。

3. 最終的な答え

楕円: $\frac{x^2}{1^2} + \frac{(y+1)^2}{2^2} = 1$