三角形ABCにおいて、$\sin A : \sin B : \sin C = 7:5:3$ のとき、この三角形の最も大きい角の大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\sin A : \sin B : \sin C = 7:5:3$ のとき、この三角形の最も大きい角の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

三角形の辺の比と角の比の関係を利用します。

正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ (Rは外接円の半径)

よって、

$a = 2R\sin A$, $b = 2R\sin B$, $c = 2R\sin C$

したがって、$a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C$ が成り立ちます。

与えられた条件より、$a:b:c = 7:5:3$ となります。

最も大きい角は、最も長い辺の対角なので、角Aが最も大きい角になります。

ここで、$a = 7k$, $b = 5k$, $c = 3k$ (kは正の定数) とおきます。

余弦定理より、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$\cos A = \frac{(5k)^2 + (3k)^2 - (7k)^2}{2(5k)(3k)} = \frac{25k^2 + 9k^2 - 49k^2}{30k^2} = \frac{-15k^2}{30k^2} = -\frac{1}{2}$

$\cos A = -\frac{1}{2}$ となる角Aは、$A = 120^\circ$

3. 最終的な答え

$120^\circ$