連立不等式 $x - y - 1 \le 0$ $x + y - 1 \ge 0$ $x^2 + y^2 \le 2x$ の表す領域の面積を求める。

1. 問題の内容

連立不等式

$x - y - 1 \le 0$

$x + y - 1 \ge 0$

$x^2 + y^2 \le 2x$

の表す領域の面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式が表す領域を図示する。

$x - y - 1 \le 0$ は、$y \ge x - 1$ を表すので、直線 $y = x - 1$ の上側の領域である。

$x + y - 1 \ge 0$ は、$y \ge -x + 1$ を表すので、直線 $y = -x + 1$ の上側の領域である。

$x^2 + y^2 \le 2x$ は、$x^2 - 2x + y^2 \le 0$ と変形できる。

さらに変形すると $(x - 1)^2 + y^2 \le 1$ となるので、これは中心 $(1, 0)$、半径 $1$ の円の内部（境界を含む）を表す。

次に、これらの領域の共通部分を考える。

直線 $y = x - 1$ と直線 $y = -x + 1$ の交点は、$x - 1 = -x + 1$ より $2x = 2$ となり、$x = 1$。このとき $y = 0$。よって交点は $(1, 0)$ である。

円 $(x - 1)^2 + y^2 \le 1$ の中心 $(1, 0)$ は2つの直線の交点である。

また、$x = 0$ のとき、$y = -1$ および $y = 1$ であるから、円は $y$ 軸と $(0, -1)$ および $(0, 1)$ で交わる。

求める領域は、円 $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ の、$y \ge x - 1$ かつ $y \ge -x + 1$ を満たす部分である。これは、中心角が $90$ 度の扇形である（2本の直線 $y = x - 1$ と $y = -x + 1$ は直交する）。

扇形の面積は、半径 $1$、中心角 $90$ 度なので、円の面積の $1/4$ となる。

円の面積は $\pi \cdot 1^2 = \pi$ なので、求める面積は $\pi / 4$ である。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$