三角形OABがあり、重心をGとする。pを正の実数とし、 $(3p-2)\vec{PO} - 2p\vec{PA} - p\vec{PB} = \vec{0}$ を満たす点Pをとる。$\vec{a}=\vec{OA}$, $\vec{b}=\vec{OB}$とするとき、以下の問いに答えよ。 (1) $\vec{OG}$, $\vec{OP}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表せ。 (2) 直線OPと直線ABの交点をCとするとき、$\vec{OC}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表せ。また、OP:OCとAC:CBを求めよ。 (3) qを正の実数とし、$\vec{OQ} = q\vec{OB}$を満たす点Qをとり、3点P, G, Qが一直線上にあるときを考える。 (i) qをpを用いて表せ。 (ii) 三角形OABの面積をS, 三角形OPQの面積をTとするとき、S:T = 27:8となるようなp, qの組(p, q)を求めよ。

1. 問題の内容

三角形OABがあり、重心をGとする。pを正の実数とし、

$(3p-2)\vec{PO} - 2p\vec{PA} - p\vec{PB} = \vec{0}$

を満たす点Pをとる。$\vec{a}=\vec{OA}$, $\vec{b}=\vec{OB}$とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) $\vec{OG}$, $\vec{OP}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表せ。

(2) 直線OPと直線ABの交点をCとするとき、$\vec{OC}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$を用いて表せ。また、OP:OCとAC:CBを求めよ。

(3) qを正の実数とし、$\vec{OQ} = q\vec{OB}$を満たす点Qをとり、3点P, G, Qが一直線上にあるときを考える。

(i) qをpを用いて表せ。

(ii) 三角形OABの面積をS, 三角形OPQの面積をTとするとき、S:T = 27:8となるようなp, qの組(p, q)を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 重心Gについて、$\vec{OG} = \frac{\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OO}}{3} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{0}}{3} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$

$\vec{OP}$について、与えられた式を変形する。

$(3p-2)\vec{PO} - 2p\vec{PA} - p\vec{PB} = \vec{0}$

$(3p-2)\vec{PO} = 2p\vec{PA} + p\vec{PB}$

$-(3p-2)\vec{OP} = 2p(\vec{OA}-\vec{OP}) + p(\vec{OB}-\vec{OP})$

$-(3p-2)\vec{OP} = 2p\vec{a} - 2p\vec{OP} + p\vec{b} - p\vec{OP}$

$-(3p-2)\vec{OP} = 2p\vec{a} + p\vec{b} - 3p\vec{OP}$

$3p\vec{OP} - (3p-2)\vec{OP} = 2p\vec{a} + p\vec{b}$

$2\vec{OP} = 2p\vec{a} + p\vec{b}$

$\vec{OP} = p\vec{a} + \frac{p}{2}\vec{b}$

(2) 点Cは直線OP上にあるので、実数kを用いて$\vec{OC} = k\vec{OP}$と表せる。

$\vec{OC} = k(p\vec{a} + \frac{p}{2}\vec{b}) = kp\vec{a} + \frac{kp}{2}\vec{b}$

また、点Cは直線AB上にあるので、実数tを用いて$\vec{OC} = (1-t)\vec{OA} + t\vec{OB}$と表せる。

$\vec{OC} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$

したがって、

$kp = 1-t$

$\frac{kp}{2} = t$

これらを連立して解くと、

$kp = 1 - \frac{kp}{2}$

$\frac{3}{2}kp = 1$

$kp = \frac{2}{3}$

よって、

$\vec{OC} = \frac{2}{3}\vec{OP} = \frac{2}{3}(p\vec{a} + \frac{p}{2}\vec{b}) = \frac{2p}{3}\vec{a} + \frac{p}{3}\vec{b}$

また、$1-t = \frac{2p}{3}$, $t = \frac{p}{3}$より、

$\vec{OC} = \frac{2p}{3}\vec{a} + \frac{p}{3}\vec{b}$

$\vec{OC} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$

$\vec{OC} = (1 - \frac{p}{3})\vec{a} + \frac{p}{3}\vec{b}$

$OP:OC = 1 : \frac{2}{3} = 3:2$

$AC:CB = \frac{p}{3}: (1-\frac{p}{3}) = p:(3-p)$

(3) (i) 3点P, G, Qが一直線上にあるので、$\vec{PG} = l\vec{PQ}$となる実数lが存在する。

$\vec{OG}-\vec{OP} = l(\vec{OQ}-\vec{OP})$

$\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} - (p\vec{a} + \frac{p}{2}\vec{b}) = l(q\vec{b} - (p\vec{a} + \frac{p}{2}\vec{b}))$

$(\frac{1}{3}-p)\vec{a} + (\frac{1}{3}-\frac{p}{2})\vec{b} = -lp\vec{a} + l(q-\frac{p}{2})\vec{b}$

$\frac{1}{3}-p = -lp$

$\frac{1}{3}-\frac{p}{2} = l(q-\frac{p}{2})$

$l = \frac{p-\frac{1}{3}}{p} = 1 - \frac{1}{3p}$

$\frac{1}{3}-\frac{p}{2} = (1-\frac{1}{3p})(q-\frac{p}{2})$

$\frac{2-3p}{6} = q - \frac{p}{2} - \frac{q}{3p} + \frac{1}{6}$

$\frac{2-3p}{6} = q - \frac{p}{2} - \frac{q}{3p} + \frac{1}{6}$

$\frac{1-3p}{6} = q - \frac{p}{2} - \frac{q}{3p}$

$\frac{1-3p}{6} + \frac{p}{2} = q - \frac{q}{3p}$

$\frac{1-3p+3p}{6} = q(1-\frac{1}{3p})$

$\frac{1}{6} = q(\frac{3p-1}{3p})$

$q = \frac{3p}{6(3p-1)} = \frac{p}{2(3p-1)}$

(ii) $S = \frac{1}{2}|\vec{OA}||\vec{OB}|\sin{\angle AOB}$

$T = \frac{1}{2}|\vec{OP}||\vec{OQ}|\sin{\angle POQ}$

$\frac{S}{T} = \frac{\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin{\angle AOB}}{\frac{1}{2}|p\vec{a} + \frac{p}{2}\vec{b}||q\vec{b}|\sin{\angle AOB}} = \frac{27}{8}$

$\vec{OP} = p\vec{a} + \frac{p}{2}\vec{b}$、$\vec{OQ} = q\vec{b}$より、$\triangle OPQ$の面積は$\frac{1}{2}|pq||\vec{a}\times \vec{b}| = \frac{1}{2}|pq|S$

したがって、$\frac{S}{\frac{1}{2}|pq|S} = \frac{2}{pq} = \frac{27}{8}$

$pq = \frac{16}{27}$

$p \cdot \frac{p}{2(3p-1)} = \frac{16}{27}$

$\frac{p^2}{2(3p-1)} = \frac{16}{27}$

$27p^2 = 32(3p-1)$

$27p^2 - 96p + 32 = 0$

$(9p-8)(3p-4) = 0$

$p = \frac{8}{9}, \frac{4}{3}$

$p = \frac{8}{9}$のとき、$q = \frac{\frac{8}{9}}{2(3\cdot\frac{8}{9}-1)} = \frac{\frac{8}{9}}{2(\frac{8}{3}-1)} = \frac{\frac{8}{9}}{2\cdot\frac{5}{3}} = \frac{8}{9} \cdot \frac{3}{10} = \frac{4}{15}$

$p = \frac{4}{3}$のとき、$q = \frac{\frac{4}{3}}{2(3\cdot\frac{4}{3}-1)} = \frac{\frac{4}{3}}{2(4-1)} = \frac{\frac{4}{3}}{6} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OG} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$, $\vec{OP} = p\vec{a} + \frac{p}{2}\vec{b}$

(2) $\vec{OC} = \frac{2p}{3}\vec{a} + \frac{p}{3}\vec{b}$, $OP:OC = 3:2$, $AC:CB = p:(3-p)$

(3) (i) $q = \frac{p}{2(3p-1)}$

(ii) $(p, q) = (\frac{8}{9}, \frac{4}{15}), (\frac{4}{3}, \frac{2}{9})$