三角形ABCにおいて、AB=4, AC=3, ∠A=60°である。辺BCの中点をMとするとき、線分BMの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=4, AC=3, ∠A=60°である。辺BCの中点をMとするとき、線分BMの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて辺BCの長さを求めます。三角形ABCにおいて、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$

$BC^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ$

$BC^2 = 16 + 9 - 24 \cdot \frac{1}{2}$

$BC^2 = 25 - 12 = 13$

$BC = \sqrt{13}$

次に、中線定理（パップスの定理）を利用して、線分AMの長さを求めます。

三角形ABCにおいて、中線AMに対して、

$AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$

$4^2 + 3^2 = 2(AM^2 + BM^2)$

$16 + 9 = 2(AM^2 + BM^2)$

$25 = 2(AM^2 + BM^2)$

$BM = MC = \frac{1}{2}BC = \frac{\sqrt{13}}{2}$なので、

$25 = 2(AM^2 + (\frac{\sqrt{13}}{2})^2)$

$25 = 2(AM^2 + \frac{13}{4})$

$\frac{25}{2} = AM^2 + \frac{13}{4}$

$AM^2 = \frac{25}{2} - \frac{13}{4} = \frac{50}{4} - \frac{13}{4} = \frac{37}{4}$

$AM = \frac{\sqrt{37}}{2}$

問題はBMの長さを求めることなので、$BM = \frac{1}{2}BC$ であるため、$BM = \frac{\sqrt{13}}{2}$となります。

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{13}}{2}$