3つの直線 $2x - 3y = 1$ (1) $3x + 2y = 8$ (2) $ax - y = 2$ (3) について、以下の問いに答える。 (1) 直線(1)の傾きと切片を求める。 (2) 直線(2)の傾きと切片を求める。 (3) 直線(1)と(2)の交点の座標を求める。 (4) 3直線が1点で交わるように、定数 $a$ の値を求める。 (5) 3直線が三角形を作らないように、定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

3つの直線

$2x - 3y = 1$ (1)

$3x + 2y = 8$ (2)

$ax - y = 2$ (3)

について、以下の問いに答える。

(1) 直線(1)の傾きと切片を求める。

(2) 直線(2)の傾きと切片を求める。

(3) 直線(1)と(2)の交点の座標を求める。

(4) 3直線が1点で交わるように、定数 $a$ の値を求める。

(5) 3直線が三角形を作らないように、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線(1)の式を $y$ について解き、$y = mx + c$ の形にする。ここで、$m$ が傾き、$c$ が切片である。

$2x - 3y = 1$

$-3y = -2x + 1$

$y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$

したがって、傾きは $\frac{2}{3}$、切片は $-\frac{1}{3}$ である。

(2) 直線(2)の式を $y$ について解き、$y = mx + c$ の形にする。

$3x + 2y = 8$

$2y = -3x + 8$

$y = -\frac{3}{2}x + 4$

したがって、傾きは $-\frac{3}{2}$、切片は $4$ である。

(3) 直線(1)と(2)の交点を求めるには、連立方程式

$2x - 3y = 1$

$3x + 2y = 8$

を解く。

(1)の式を3倍、(2)の式を2倍して、$x$ の係数を揃える。

$6x - 9y = 3$

$6x + 4y = 16$

2つの式を引き算して、$x$ を消去する。

$-13y = -13$

$y = 1$

$y = 1$ を (1) の式に代入して、$x$ を求める。

$2x - 3(1) = 1$

$2x - 3 = 1$

$2x = 4$

$x = 2$

したがって、交点の座標は $(2, 1)$ である。

(4) 3直線が1点で交わるためには、直線(3)が(1)と(2)の交点 $(2, 1)$ を通る必要がある。

直線(3)の式 $ax - y = 2$ に $(2, 1)$ を代入する。

$a(2) - 1 = 2$

$2a = 3$

$a = \frac{3}{2}$

(5) 3直線が三角形を作らないのは、以下のいずれかの場合である。

(i) 3直線が1点で交わる (すでに (4) で $a = \frac{3}{2}$ を求めた)。

(ii) 2直線が平行である。

直線(1)と(3)が平行なとき、傾きが等しいので、

$a = 2/3$

直線(2)と(3)が平行なとき、傾きが等しいので、

$a = -3/2$

したがって、$a = \frac{3}{2}, \frac{2}{3}, -\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 傾き: $\frac{2}{3}$, 切片: $-\frac{1}{3}$

(2) 傾き: $-\frac{3}{2}$, 切片: $4$

(3) $(2, 1)$

(4) $a = \frac{3}{2}$

(5) $a = \frac{3}{2}, \frac{2}{3}, -\frac{3}{2}$