四角形ABCDが円に内接しており、対角線ACとBDの交点をEとします。$\angle ACB = \angle ACD$、BC=5、AC=7、CD=2のとき、以下の値を求めます。 (1) $\angle ACB$ (2) AB (3) 円の半径R (4) BD (5) AE : EC

1. 問題の内容

四角形ABCDが円に内接しており、対角線ACとBDの交点をEとします。$\angle ACB = \angle ACD$、BC=5、AC=7、CD=2のとき、以下の値を求めます。

(1) $\angle ACB$

(2) AB

(3) 円の半径R

(4) BD

(5) AE : EC

2. 解き方の手順

(1) $\angle ACB$を求める。

$\angle ACB = \angle ACD$であるから、ADは$\angle BAC$の二等分線である。

$\triangle ABC$において、角の二等分線の定理より、$AB : BC = AE : EC$。

$\triangle ADC$において、角の二等分線の定理より、$AD : DC = AE : EC$。

よって、$AB : BC = AD : DC$となり、$AB : 5 = AD : 2$。

円に内接する四角形の性質から、$\angle ABC = \angle ADE$。$\angle ACB = \angle ADE$だから、$\triangle ABC \sim \triangle ADE$。

$\angle BAC = \angle EAD$

$\angle ACB = \angle ACD = \theta$とおくと、$\angle ABC = \angle ADC$。

$\triangle ABC$と$\triangle DAC$において、$\angle ACB = \angle DAC$だから、$\angle ACB = \angle DAC = \theta$。

$\triangle ABC \sim \triangle DAC$。

したがって、$AB : DA = BC : AC = AC : DC$。

$BC : AC = AC : DC$より、$5 : 7 = 7 : AD$。

$AD = \frac{49}{5}$。

$AB : 5 = \frac{49}{5} : 2$より、$AB = \frac{49}{2}$。

これはあり得ないから$\triangle ABC \sim \triangle DAC$ではない。

$\angle ACB = \angle ACD = \theta$。

$\triangle BCD$において余弦定理より、$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 BC \cdot CD \cos(\angle BCD)$。

$\angle BCD = 2\theta$。

$\triangle ABC$において余弦定理より、$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 AC \cdot BC \cos(\angle ACB) = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cos \theta = 49 + 25 - 70 \cos \theta = 74 - 70 \cos \theta$。

$\triangle ADC$において余弦定理より、$AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 AC \cdot CD \cos(\angle ACD) = 7^2 + 2^2 - 2 \cdot 7 \cdot 2 \cos \theta = 49 + 4 - 28 \cos \theta = 53 - 28 \cos \theta$。

円に内接する四角形の性質より、$\angle BAC = \angle BDC$。$\angle ACB = \angle ACD$だから、$\triangle ABC \sim \triangle EDC$。

$\triangle ABC$において正弦定理より、$\frac{AB}{\sin \theta} = 2R$。

$\triangle ADC$において正弦定理より、$\frac{AD}{\sin \theta} = 2R$。

したがって、$AB = AD$。

$74 - 70\cos \theta = 53 - 28\cos \theta$。

$21 = 42\cos \theta$。

$\cos \theta = \frac{1}{2}$。

よって、$\theta = 60^{\circ}$。

$\angle ACB = 60^{\circ}$。

(2) ABを求める。

$AB = \sqrt{74 - 70 \cos 60^{\circ}} = \sqrt{74 - 70 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{74 - 35} = \sqrt{39}$。

(3) 円の半径Rを求める。

$\triangle ABC$において正弦定理より、$\frac{AB}{\sin \theta} = 2R$。

$\frac{\sqrt{39}}{\sin 60^{\circ}} = 2R$。

$\frac{\sqrt{39}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$。

$2R = \frac{2\sqrt{39}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{1}} = 2\sqrt{13}$。

$R = \sqrt{13}$。

$R = \frac{\sqrt{39}}{\sin(60)} = \frac{\sqrt{39}}{\sqrt{3}/2} = \frac{2 \sqrt{13 \cdot 3}}{\sqrt{3}} = 2 \sqrt{13}$. Therefore $R = \sqrt{13}$.

(4) BDを求める。

$\triangle BCD$において余弦定理より、$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 BC \cdot CD \cos(2\theta) = 5^2 + 2^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2 \cos(120^{\circ}) = 25 + 4 - 20 \cdot (-\frac{1}{2}) = 29 + 10 = 39$。

$BD = \sqrt{39}$。

(5) AE : ECを求める。

$\triangle ABE \sim \triangle DCE$より、$AE : DE = BE : CE$。

$\triangle BCE \sim \triangle DAE$。

$AE : EC = AB : BC = \sqrt{39} : 5$。

$\triangle ABC$で正弦定理を使うと、$AB/\sin 60 = BC / \sin A$. Since $AB=BD = \sqrt{39}$ then $\angle BAC = \arcsin((5/ \sqrt{39}) \sin 60 = \arcsin( 5\sqrt{3}/(2\sqrt{39})) = \arcsin(5\sqrt{13} / 26)$.

三角形ABCにおいて、角の二等分線の定理より、$AE:EC = AB:BC = \sqrt{39}:5$.

1. 最終的な答え

(1) $\angle ACB = 60^{\circ}$

(2) $AB = \sqrt{39}$

(3) $R = \sqrt{13}$

(4) $BD = \sqrt{39}$

(5) $AE : EC = \sqrt{39} : 5$