半径 $2\sqrt{14}/7$ の円Kに内接する三角形ABCがあり、$cos∠BAC = -\sqrt{2}/4$, $AC=1$ が与えられています。このとき、$sin∠BAC$, $BC$, $sin∠ABC$, $cos∠ABC$, $AB$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

半径 $2\sqrt{14}/7$ の円Kに内接する三角形ABCがあり、$cos∠BAC = -\sqrt{2}/4$, $AC=1$ が与えられています。このとき、$sin∠BAC$, $BC$, $sin∠ABC$, $cos∠ABC$, $AB$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$sin∠BAC$を求めます。

$sin^2∠BAC + cos^2∠BAC = 1$ より、

$sin^2∠BAC = 1 - cos^2∠BAC = 1 - (-\sqrt{2}/4)^2 = 1 - 2/16 = 1 - 1/8 = 7/8$

$sin∠BAC = \sqrt{7/8} = \sqrt{14}/4$ (∵ $0 < ∠BAC < \pi$ より $sin∠BAC > 0$)

次に、正弦定理より $BC / sin∠BAC = 2R$ なので、$BC = 2R \cdot sin∠BAC$

$BC = 2 (2\sqrt{14}/7) \cdot (\sqrt{14}/4) = (4\sqrt{14}/7) \cdot (\sqrt{14}/4) = 14/7 = 2$

次に、余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot cos∠BAC$

$2^2 = AB^2 + 1^2 - 2 \cdot AB \cdot 1 \cdot (-\sqrt{2}/4)$

$4 = AB^2 + 1 + (\sqrt{2}/2) AB$

$AB^2 + (\sqrt{2}/2) AB - 3 = 0$

$AB = x$ とおくと、$x^2 + \frac{\sqrt{2}}{2} x - 3 = 0$

$2x^2 + \sqrt{2} x - 6 = 0$

$x = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{(\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6)}}{2 \cdot 2} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{2+48}}{4} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{50}}{4} = \frac{-\sqrt{2} \pm 5\sqrt{2}}{4}$

$x = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}$ または $x = \frac{-6\sqrt{2}}{4} = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$

$AB>0$ より、$AB = \sqrt{2}$

正弦定理より、$AC/sin∠ABC = 2R$ なので、$sin∠ABC = AC/(2R) = 1 / (4\sqrt{14}/7) = 7/(4\sqrt{14}) = 7\sqrt{14}/(4\cdot 14) = \sqrt{14}/8$

$cos∠ABC = \pm \sqrt{1-sin^2∠ABC} = \pm \sqrt{1-14/64} = \pm \sqrt{50/64} = \pm \sqrt{25/32} = \pm 5/(4\sqrt{2}) = \pm (5\sqrt{2})/8$

余弦定理より、$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB \cdot BC cos∠ABC$

$1 = 2+4 - 2\sqrt{2} \cdot 2 cos∠ABC$

$1 = 6 - 4\sqrt{2} cos∠ABC$

$-5 = -4\sqrt{2} cos∠ABC$

$cos∠ABC = 5/(4\sqrt{2}) = (5\sqrt{2})/8$

3. 最終的な答え

$sin∠BAC = \frac{\sqrt{14}}{4}$

$BC = 2$

$sin∠ABC = \frac{\sqrt{14}}{8}$

$cos∠ABC = \frac{5\sqrt{2}}{8}$

$AB = \sqrt{2}$