$\sum_{k=1}^{n} (3k+2)$ を計算して、和を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (3k+2)$ を計算して、和を求める問題です。

2. 解き方の手順

シグマ記号の性質を利用して、式を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (3k+2) = \sum_{k=1}^{n} 3k + \sum_{k=1}^{n} 2$

次に、定数倍の性質を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} 3k = 3\sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k$ は、1からnまでの自然数の和なので、公式 $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} 2$ は、2をn回足すことになるので、$2n$となります。

以上のことから、

$\sum_{k=1}^{n} (3k+2) = 3\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 2 = 3\frac{n(n+1)}{2} + 2n$

さらに式を整理します。

$3\frac{n(n+1)}{2} + 2n = \frac{3n(n+1)}{2} + \frac{4n}{2} = \frac{3n^2+3n+4n}{2} = \frac{3n^2+7n}{2} = \frac{n(3n+7)}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(3n+7)}{2}$