$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解け。 $\cos 2\theta - \sqrt{3} \sin \theta + 2 = 0$

1. 問題の内容

$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解け。

$\cos 2\theta - \sqrt{3} \sin \theta + 2 = 0$

2. 解き方の手順

まず、$\cos 2\theta$ を $\sin \theta$ を用いて書き換えます。

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$

したがって、方程式は次のようになります。

$1 - 2\sin^2 \theta - \sqrt{3} \sin \theta + 2 = 0$

整理すると、

$-2\sin^2 \theta - \sqrt{3} \sin \theta + 3 = 0$

両辺に-1を掛けて、

$2\sin^2 \theta + \sqrt{3} \sin \theta - 3 = 0$

$\sin \theta = x$ とおくと、

$2x^2 + \sqrt{3} x - 3 = 0$

これを解の公式で解きます。

$x = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)}$

$x = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{3 + 24}}{4}$

$x = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{27}}{4}$

$x = \frac{-\sqrt{3} \pm 3\sqrt{3}}{4}$

$x = \frac{2\sqrt{3}}{4}, \frac{-4\sqrt{3}}{4}$

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}, -\sqrt{3}$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}, -\sqrt{3}$

$-1 \leq \sin \theta \leq 1$ より、$\sin \theta = -\sqrt{3}$ は不適。

$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ を $0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲で探します。

$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$