複素数の計算問題です。 (1) $(5+i) \div (1-i)$ を計算します。 (2) $\frac{6+7i}{1+4i}$ を計算します。

1. 問題の内容

複素数の計算問題です。

(1) $(5+i) \div (1-i)$ を計算します。

(2) $\frac{6+7i}{1+4i}$ を計算します。

2. 解き方の手順

(1) 複素数の割り算は、分母の複素共役を分母と分子に掛けることで計算します。分母 $1-i$ の複素共役は $1+i$ なので、$5+i$ を $1-i$ で割る計算は次のようになります。

$\frac{5+i}{1-i} = \frac{(5+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}$

分子を展開すると、

$(5+i)(1+i) = 5 + 5i + i + i^2 = 5 + 6i - 1 = 4 + 6i$

分母を展開すると、

$(1-i)(1+i) = 1 + i - i - i^2 = 1 - (-1) = 2$

よって、

$\frac{5+i}{1-i} = \frac{4+6i}{2} = 2+3i$

(2) 同様に、分母 $1+4i$ の複素共役は $1-4i$ なので、分子と分母に $1-4i$ を掛けます。

$\frac{6+7i}{1+4i} = \frac{(6+7i)(1-4i)}{(1+4i)(1-4i)}$

分子を展開すると、

$(6+7i)(1-4i) = 6 - 24i + 7i - 28i^2 = 6 - 17i + 28 = 34 - 17i$

分母を展開すると、

$(1+4i)(1-4i) = 1 - 16i^2 = 1 + 16 = 17$

よって、

$\frac{6+7i}{1+4i} = \frac{34-17i}{17} = 2-i$

3. 最終的な答え

(1) $2+3i$

(2) $2-i$