10で割ると7余り、25で割ると22余り、30で割ると27余る整数のうち、最も小さいものを求める。

1. 問題の内容

10で割ると7余り、25で割ると22余り、30で割ると27余る整数のうち、最も小さいものを求める。

2. 解き方の手順

求める整数を $x$ とします。問題文から、以下の合同式が成り立ちます。

* $x \equiv 7 \pmod{10}$

* $x \equiv 22 \pmod{25}$

* $x \equiv 27 \pmod{30}$

これらの合同式を解きます。

まず、$x \equiv 7 \pmod{10}$ より、$x = 10k + 7$ (kは整数) と表せます。

これを、$x \equiv 22 \pmod{25}$ に代入すると、

$10k + 7 \equiv 22 \pmod{25}$

$10k \equiv 15 \pmod{25}$

両辺を5で割ると、

$2k \equiv 3 \pmod{5}$

両辺に3をかけると、

$6k \equiv 9 \pmod{5}$

$k \equiv 4 \pmod{5}$

よって、$k = 5l + 4$ (lは整数) と表せます。

これを $x = 10k + 7$ に代入すると、

$x = 10(5l + 4) + 7$

$x = 50l + 40 + 7$

$x = 50l + 47$

次に、$x \equiv 27 \pmod{30}$ を考えます。$x = 50l + 47$ を代入すると、

$50l + 47 \equiv 27 \pmod{30}$

$50l \equiv -20 \pmod{30}$

$50l \equiv 10 \pmod{30}$

両辺を10で割ると、

$5l \equiv 1 \pmod{3}$

$5l \equiv 1 \pmod{3}$

$2l \equiv 1 \pmod{3}$

両辺に2をかけると、

$4l \equiv 2 \pmod{3}$

$l \equiv 2 \pmod{3}$

よって、$l = 3m + 2$ (mは整数) と表せます。

これを $x = 50l + 47$ に代入すると、

$x = 50(3m + 2) + 47$

$x = 150m + 100 + 47$

$x = 150m + 147$

最も小さい整数を求めるので、$m = 0$ のとき、$x = 147$ となります。

3. 最終的な答え

147