正の整数 $a, b, c$ について、以下の2つの命題A, Bが共に真となるような正の整数 $k$ のうち、最大のものと最小のものを求める。 命題A: $abc \ge k$ ならば、$a, b, c$ の少なくとも一つは10以上である。 命題B: $abc \le k$ ならば、$a, b, c$ の少なくとも一つは10以下である。

1. 問題の内容

正の整数 $a, b, c$ について、以下の2つの命題A, Bが共に真となるような正の整数 $k$ のうち、最大のものと最小のものを求める。

命題A: $abc \ge k$ ならば、$a, b, c$ の少なくとも一つは10以上である。

命題B: $abc \le k$ ならば、$a, b, c$ の少なくとも一つは10以下である。

2. 解き方の手順

命題Aが真であるための条件を考える。もし $abc \ge k$ ならば、$a, b, c$ の少なくとも一つは10以上である必要がある。言い換えると、$a, b, c$ がすべて9以下ならば、$abc < k$ でなければならない。よって、$9 \times 9 \times 9 = 729$ より、$k > 729$ である必要がある。

命題Bが真であるための条件を考える。もし $abc \le k$ ならば、$a, b, c$ の少なくとも一つは10以下である必要がある。言い換えると、$a, b, c$ がすべて11以上ならば、$abc > k$ でなければならない。よって、$11 \times 11 \times 11 = 1331$ より、$k < 1331$ である必要がある。

したがって、$729 < k < 1331$ である。

$k$ の最小値を考える。$k=730$ とする。$abc \ge 730$ ならば、$a,b,c$ の少なくとも一つは10以上であることを示す。$a,b,c \le 9$と仮定すると、$abc \le 9^3=729<730$となり、$abc \ge 730$ に矛盾する。よって、$a,b,c$ の少なくとも一つは10以上である。

$abc \le 730$ ならば、$a,b,c$ の少なくとも一つは10以下であることを示す。$a,b,c \ge 11$と仮定すると、$abc \ge 11^3=1331 > 730$となり、$abc \le 730$ に矛盾する。よって、$a,b,c$ の少なくとも一つは10以下である。

よって、$k$ の最小値は730ではない。

$k=999$を考える。$1000 = 10^3$. $abc\ge 1000$ なら、$a,b,c$の少なくとも一つは10以上．

$10,10,10$ ならば$abc = 1000\ge 1000$ .

$abc \le 1000$. $a,b,c$の少なくとも一つは10以下.

$abc=1330 \ge 1000$.$a,b,c$ の少なくとも一つは10以上.

最小の $k$ を探す。$k=730,731,\ldots$

$a,b,c$がすべて10以下ならば、$abc\le1000$である。

$a=8,b=9,c=10$のとき、$abc=720<730$ 。

もし$abc\ge730$ならば、$a,b,c$の少なくとも一つは10以上である。

$abc\le730$ならば、$a,b,c$の少なくとも一つは10以下である。

$abc=730, a=2, b=5, c=73$ となる可能性がある。

もし、$a,b,c \ge 11$ならば、$abc \ge 11^3 = 1331$となるので、$abc>730$ である。

最大の $k$ を探す。$k=1330,1329,\ldots$

$abc=1330$. $abc \le k$. ならば、$a,b,c$ の少なくとも一つは10以下。

もし、$a,b,c \ge 11$ ならば、$abc \ge 11^3=1331>k=1330$ となり、矛盾する。

もし、$a,b,c \le 9$ならば、$abc \le 9^3=729$ となり、$abc<k$.

もし、$abc\ge 1330$ ならば、$a,b,c$ の少なくとも一つは10以上である。

$k = 729$の時。$abc \ge 729$　なら$a,b,c$の少なくとも一つは10以上

$a=9,b=9,c=9$. $abc=729 \ge 729$　$a,b,c<10$. 矛盾する

$abc \le 1331$

最小値は 730、最大値は 1330。

3. 最終的な答え

最小値：730

最大値：1330