3で割ると2余り、5で割ると4余り、6で割ると5余る整数のうち、最も小さいものを求めよ。

1. 問題の内容

3で割ると2余り、5で割ると4余り、6で割ると5余る整数のうち、最も小さいものを求めよ。

2. 解き方の手順

求める整数を$n$とします。

問題文より、以下の式が成り立ちます。

$n \equiv 2 \pmod{3}$

$n \equiv 4 \pmod{5}$

$n \equiv 5 \pmod{6}$

3つ目の式 $n \equiv 5 \pmod{6}$ は $n = 6k + 5$ ($k$は整数) と表せます。この式から、$n$ は奇数であることがわかります。

また、$n \equiv 5 \pmod{6}$ より、$n \equiv -1 \pmod{6}$ とも書けます。

これは、$n \equiv -1 \pmod{2}$ かつ $n \equiv -1 \pmod{3}$ と同値です。

$n \equiv -1 \pmod{3}$ は $n \equiv 2 \pmod{3}$ と同じことを意味します。

したがって、$n \equiv 5 \pmod{6}$ という条件は $n \equiv 2 \pmod{3}$ という条件を含んでいます。

よって、条件を以下のように絞り込むことができます。

$n \equiv 4 \pmod{5}$

$n \equiv 5 \pmod{6}$

$n \equiv 4 \pmod{5}$ より、$n = 5l + 4$ ($l$は整数) と表せます。

$n \equiv 5 \pmod{6}$ より、$n = 6k + 5$ ($k$は整数) と表せます。

したがって、$5l + 4 = 6k + 5$ となります。

変形すると、$5l = 6k + 1$ となります。

さらに変形して、$5l - 6k = 1$ となります。

この不定方程式を解きます。

$l = 5$, $k = 4$ が一つの解であることは容易にわかります。

したがって、$5(5) - 6(4) = 1$ となります。

一般解は、$l = 5 + 6t$, $k = 4 + 5t$ ($t$は整数) となります。

$n = 5l + 4 = 5(5 + 6t) + 4 = 25 + 30t + 4 = 30t + 29$

$n = 6k + 5 = 6(4 + 5t) + 5 = 24 + 30t + 5 = 30t + 29$

したがって、$n = 30t + 29$ と表せます。

最も小さい整数は、$t = 0$ のとき、$n = 29$ です。

3. 最終的な答え

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