$a$ と $b$ は有理数とする。$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、命題 $a+b\sqrt{2} = 0 \Rightarrow a=b=0$ を証明する。

## 9 (1) の問題

1. 問題の内容

$a$ と $b$ は有理数とする。$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、命題 $a+b\sqrt{2} = 0 \Rightarrow a=b=0$ を証明する。

2. 解き方の手順

背理法を用いる。$b \neq 0$ と仮定する。

$a+b\sqrt{2} = 0$ を $b\sqrt{2} = -a$ と変形する。

$b \neq 0$ なので、両辺を $b$ で割ると、

$\sqrt{2} = -\frac{a}{b}$ となる。

$a$ と $b$ は有理数なので、$-\frac{a}{b}$ も有理数である。

これは $\sqrt{2}$ が無理数であることに矛盾する。

したがって、$b = 0$ である。

$a+b\sqrt{2} = 0$ に $b = 0$ を代入すると、$a+0\sqrt{2} = a = 0$ となる。

よって、$a = 0$ かつ $b = 0$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$a=0, b=0$