$\frac{252}{n}$ がある自然数の2乗になるような、最も小さい自然数 $n$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\frac{252}{n}$ がある自然数の2乗になるような、最も小さい自然数 $n$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、252を素因数分解します。

$252 = 2 \times 126 = 2 \times 2 \times 63 = 2^2 \times 3 \times 21 = 2^2 \times 3 \times 3 \times 7 = 2^2 \times 3^2 \times 7$

したがって、

$252 = 2^2 \times 3^2 \times 7$

$\frac{252}{n}$ がある自然数の2乗になるためには、$n$で割った結果の素因数分解の指数がすべて偶数になる必要があります。

$\frac{252}{n} = \frac{2^2 \times 3^2 \times 7}{n}$

$2^2$と$3^2$はすでに2乗の形になっているので、7を消す必要があります。

したがって、$n$は7の倍数でなければなりません。

$n$ が最も小さい自然数なので、$n = 7$ となります。

このとき、

$\frac{252}{7} = \frac{2^2 \times 3^2 \times 7}{7} = 2^2 \times 3^2 = (2 \times 3)^2 = 6^2 = 36$

3. 最終的な答え

7