$n$ を整数とするとき、「$n^2 + 3$ が偶数ならば、$n$ は奇数である」という命題を証明する。

1. 問題の内容

$n$ を整数とするとき、「$n^2 + 3$ が偶数ならば、$n$ は奇数である」という命題を証明する。

2. 解き方の手順

この命題を直接証明するのは難しいので、対偶を証明する。

元の命題の対偶は「$n$ が偶数ならば、$n^2 + 3$ は奇数である」となる。

$n$ が偶数であるとき、$n = 2k$ （$k$ は整数）と表せる。

このとき、

$n^2 + 3 = (2k)^2 + 3 = 4k^2 + 3 = 4k^2 + 2 + 1 = 2(2k^2 + 1) + 1$

$2k^2 + 1$ は整数なので、$2(2k^2 + 1) + 1$ は奇数である。

したがって、$n$ が偶数ならば、$n^2 + 3$ は奇数である。

対偶が真であるから、元の命題「$n^2 + 3$ が偶数ならば、$n$ は奇数である」も真である。

3. 最終的な答え

$n^2 + 3$ が偶数ならば、$n$ は奇数である。（証明終わり）