$n$ は整数とする。対偶を利用して、命題「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」を証明する。

1. 問題の内容

$n$ は整数とする。対偶を利用して、命題「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」を証明する。

2. 解き方の手順

対偶を利用して証明する。元の命題の対偶は「$n$ が偶数ならば、$n^2$ は偶数である」となる。この対偶を証明することで、元の命題が真であることを示す。

* $n$ が偶数であると仮定する。

偶数は $2k$ (ここで $k$ は整数)と表せる。

$n = 2k$

* $n^2$ を計算する。

$n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$

* $2k^2$ は整数なので、$n^2$ は $2$ の倍数であり、偶数である。

したがって、$n$ が偶数ならば、$n^2$ は偶数であることが証明された。

これは元の命題の対偶が真であることを示しているため、元の命題「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」も真である。

3. 最終的な答え

$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である。（証明完了）