与えられた3つの命題を証明する問題です。 (1) $n^2 + 3$ が偶数ならば、$n$ は奇数である。 (2) $mn$ が偶数ならば、$m, n$ の少なくとも一方は偶数である。 (3) $n^2$ が 5 の倍数でなければ、$n$ は 5 の倍数でない。

1. 問題の内容

与えられた3つの命題を証明する問題です。

(1) $n^2 + 3$ が偶数ならば、$n$ は奇数である。

(2) $mn$ が偶数ならば、$m, n$ の少なくとも一方は偶数である。

(3) $n^2$ が 5 の倍数でなければ、$n$ は 5 の倍数でない。

2. 解き方の手順

(1) 対偶を証明する。

$n$ が偶数であると仮定する。すると、$n = 2k$ ( $k$ は整数) と表せる。

このとき、$n^2 + 3 = (2k)^2 + 3 = 4k^2 + 3 = 2(2k^2 + 1) + 1$ となる。

$2k^2 + 1$ は整数なので、$n^2 + 3$ は奇数である。

よって、対偶「$n$ が偶数ならば、$n^2 + 3$ は奇数である」が真であるから、元の命題「$n^2 + 3$ が偶数ならば、$n$ は奇数である」も真である。

(2) 対偶を証明する。

$m, n$ がともに奇数であると仮定する。すると、$m = 2k + 1$、$n = 2l + 1$ ( $k, l$ は整数) と表せる。

このとき、$mn = (2k + 1)(2l + 1) = 4kl + 2k + 2l + 1 = 2(2kl + k + l) + 1$ となる。

$2kl + k + l$ は整数なので、$mn$ は奇数である。

よって、対偶「$m, n$ がともに奇数ならば、$mn$ は奇数である」が真であるから、元の命題「$mn$ が偶数ならば、$m, n$ の少なくとも一方は偶数である」も真である。

(3) 対偶を証明する。

$n$ が 5 の倍数であると仮定する。すると、$n = 5k$ ( $k$ は整数) と表せる。

このとき、$n^2 = (5k)^2 = 25k^2 = 5(5k^2)$ となる。

$5k^2$ は整数なので、$n^2$ は 5 の倍数である。

よって、対偶「$n$ が 5 の倍数ならば、$n^2$ は 5 の倍数である」が真であるから、元の命題「$n^2$ が 5 の倍数でなければ、$n$ は 5 の倍数でない」も真である。

3. 最終的な答え

(1) $n^2 + 3$ が偶数ならば、$n$ は奇数である。（真）

(2) $mn$ が偶数ならば、$m, n$ の少なくとも一方は偶数である。（真）

(3) $n^2$ が 5 の倍数でなければ、$n$ は 5 の倍数でない。（真）