自然数の列を、次のように群に分ける。 1 | 2, 3 | 4, 5, 6 | 7, 8, 9, 10 | 11, 12, ... (1) 第 $n$ 群の最初の自然数を求めよ。 (2) 第20群に含まれるすべての自然数の和 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

自然数の列を、次のように群に分ける。

1 | 2, 3 | 4, 5, 6 | 7, 8, 9, 10 | 11, 12, ...

(1) 第 $n$ 群の最初の自然数を求めよ。

(2) 第20群に含まれるすべての自然数の和 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 群の最初の自然数を求める。

第 $n$ 群の直前までの群に含まれる自然数の個数は、

$1 + 2 + 3 + ... + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$ 個である。

したがって、第 $n$ 群の最初の自然数は、$\frac{(n-1)n}{2} + 1$ である。

(2) 第20群に含まれるすべての自然数の和 $S$ を求める。

第20群の最初の自然数は、(1)の結果から $n=20$ を代入して、

$\frac{(20-1)20}{2} + 1 = \frac{19 \cdot 20}{2} + 1 = 190 + 1 = 191$ である。

第20群に含まれる自然数の個数は20個であるから、第20群の最後の自然数は、

$191 + (20 - 1) = 191 + 19 = 210$ である。

したがって、第20群に含まれる自然数の和 $S$ は、等差数列の和の公式を用いて、

$S = \frac{\text{項数}}{2}(\text{初項} + \text{末項}) = \frac{20}{2}(191 + 210) = 10(401) = 4010$

3. 最終的な答え

(1) 第 $n$ 群の最初の自然数: $\frac{(n-1)n}{2} + 1$

(2) 第20群に含まれるすべての自然数の和 $S$: 4010