14番の問題について解答します。 自然数の列をある規則に従って群に分けます。第 $n$ 群には $(2n-1)$ 個の数が入ります。 (1) 第 $n$ 群の最初の自然数を $n$ の式で表してください。 (2) 第 $n$ 群に入るすべての自然数の和 $S$ を求めてください。

1. 問題の内容

14番の問題について解答します。

自然数の列をある規則に従って群に分けます。第 $n$ 群には $(2n-1)$ 個の数が入ります。

(1) 第 $n$ 群の最初の自然数を $n$ の式で表してください。

(2) 第 $n$ 群に入るすべての自然数の和 $S$ を求めてください。

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 群の最初の自然数を求める。

まず、第 $(n-1)$ 群までの自然数の個数を求めます。

第 $k$ 群には $(2k-1)$ 個の数が入るので、第 $(n-1)$ 群までの数の個数は、

$$\sum_{k=1}^{n-1} (2k-1) = 2\sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = n(n-1) - (n-1) = (n-1)(n-1) = (n-1)^2$$

となります。

したがって、第 $n$ 群の最初の自然数は、$(n-1)^2 + 1 = n^2 - 2n + 1 + 1 = n^2 - 2n + 2$ となります。

(2) 第 $n$ 群に入るすべての自然数の和 $S$ を求める。

第 $n$ 群には $(2n-1)$ 個の数が入ります。

第 $n$ 群の最初の数は $n^2 - 2n + 2$ なので、第 $n$ 群の最後の数は、

$$(n^2 - 2n + 2) + (2n - 1) - 1 = n^2 - 2n + 2 + 2n - 2 = n^2$$

となります。

したがって、第 $n$ 群に入る数の和 $S$ は、初項 $n^2 - 2n + 2$、末項 $n^2$、項数 $2n-1$ の等差数列の和なので、

$$S = \frac{2n-1}{2} ((n^2 - 2n + 2) + n^2) = \frac{2n-1}{2} (2n^2 - 2n + 2) = (2n-1)(n^2 - n + 1) = 2n^3 - 2n^2 + 2n - n^2 + n - 1 = 2n^3 - 3n^2 + 3n - 1$$

となります。

3. 最終的な答え

(1) 第 $n$ 群の最初の自然数: $n^2 - 2n + 2$

(2) 第 $n$ 群に入るすべての自然数の和 $S$: $2n^3 - 3n^2 + 3n - 1$