正の奇数の列を、第 $n$ 群に $n$ 個の数が入るように群に分ける。このとき、第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表し、第23群に入る全ての数の和 $S$ を求める。

1. 問題の内容

正の奇数の列を、第 $n$ 群に $n$ 個の数が入るように群に分ける。このとき、第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表し、第23群に入る全ての数の和 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 群の最初の数を求める。

まず、第 $n$ 群の最初の数が、正の奇数の列の中で何番目かを考える。

第 $n-1$ 群までには、1から $n-1$ までの数の個数が入っているので、その合計は、

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$

個である。したがって、第 $n$ 群の最初の数は、正の奇数の列の中で $\frac{(n-1)n}{2} + 1$ 番目の数である。

正の奇数の列は、$2k-1$ で表されるので、第 $n$ 群の最初の数は、

$2(\frac{(n-1)n}{2} + 1) - 1 = n(n-1) + 2 - 1 = n^2 - n + 1$

(2) 第23群に入る全ての数の和 $S$ を求める。

第23群の最初の数は、(1)より、$23^2 - 23 + 1 = 529 - 23 + 1 = 507$ である。

第23群には23個の数が入っているので、それらは初項が507、公差が2の等差数列をなす。

したがって、第23群の最後の数は、$507 + (23-1) \times 2 = 507 + 22 \times 2 = 507 + 44 = 551$ である。

等差数列の和の公式より、

$S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

ここで、$n = 23$、$a_1 = 507$、$a_n = 551$ なので、

$S = \frac{23(507 + 551)}{2} = \frac{23(1058)}{2} = 23 \times 529 = 12167$

3. 最終的な答え

(1) 第 $n$ 群の最初の数は $n^2 - n + 1$

(2) 第23群に入る全ての数の和 $S$ は $12167$