正の奇数の列を、第 $n$ 群に $n$ 個の数が入るように群に分ける。 (1) 第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表す。 (2) 第15群に入るすべての数の和 $S$ を求める。

1. 問題の内容

正の奇数の列を、第 $n$ 群に $n$ 個の数が入るように群に分ける。

(1) 第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表す。

(2) 第15群に入るすべての数の和 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 群の最初の数を求める。

奇数列の一般項は $2k-1$ で表される。ここで、$k$ は正の整数である。

第 $n$ 群の最初の数は、第 $(1+2+3+\dots+(n-1)+1)$ 番目の奇数である。

$1+2+3+\dots+(n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$ なので、第 $n$ 群の最初の数は、第 $(\frac{(n-1)n}{2} + 1)$ 番目の奇数となる。

したがって、第 $n$ 群の最初の数は

$2(\frac{(n-1)n}{2} + 1) - 1 = (n-1)n + 2 - 1 = n^2 - n + 1$ となる。

よって、第 $n$ 群の最初の数は、$2(\frac{n(n-1)}{2}+1)-1 = n(n-1)+1 = n^2-n+1$となる。

(2) 第15群に入るすべての数の和を求める。

第15群には15個の数が入る。

第15群の最初の数は $15^2 - 15 + 1 = 225 - 15 + 1 = 211$ である。

したがって、第15群は211, 213, 215, ..., $211 + 2(15-1)$という等差数列である。

第15群の最後の数は、$211 + 2(14) = 211 + 28 = 239$ である。

第15群の和 $S$ は、等差数列の和の公式を用いて求められる。

$S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{15}{2}(211 + 239) = \frac{15}{2}(450) = 15 \cdot 225 = 3375$

したがって、第15群の和は3375である。

3. 最終的な答え

(1) 第 $n$ 群の最初の数: $n^2 - n + 1$

(2) 第15群に入るすべての数の和 $S$: 3375