自然数 $n$ が与えられたとき、$n$ と 28 の最小公倍数が 168 であるような $n$ をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

自然数 $n$ が与えられたとき、$n$ と 28 の最小公倍数が 168 であるような $n$ をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、28 と 168 を素因数分解します。

$28 = 2^2 \cdot 7$

$168 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7$

$n$ を素因数分解したものを $n = 2^a \cdot 3^b \cdot 7^c$ とします。ここで、$a, b, c$ は非負整数です。

$n$ と 28 の最小公倍数が 168 であることから、以下の条件が成り立ちます。

- 2の指数について：$\max(a, 2) = 3$

- 3の指数について：$\max(b, 0) = 1$

- 7の指数について：$\max(c, 1) = 1$

これらの条件を満たす $a, b, c$ を考えます。

- $\max(a, 2) = 3$ より、$a = 3$

- $\max(b, 0) = 1$ より、$b = 1$

- $\max(c, 1) = 1$ より、$c = 0$ または $c = 1$

したがって、$n$ は $2^3 \cdot 3^1 \cdot 7^0$ または $2^3 \cdot 3^1 \cdot 7^1$ の形になります。

$n = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 7^0 = 8 \cdot 3 \cdot 1 = 24$

$n = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 7^1 = 8 \cdot 3 \cdot 7 = 168$

3. 最終的な答え

$n = 24, 168$