整数 $n$ に対して、命題「$n^2$ が3の倍数でなければ、$n$ は3の倍数でない」が真であることを、対偶を用いて証明せよ。

## 問題29

1. 問題の内容

整数 $n$ に対して、命題「$n^2$ が3の倍数でなければ、$n$ は3の倍数でない」が真であることを、対偶を用いて証明せよ。

2. 解き方の手順

この命題の対偶は、「$n$ が3の倍数ならば、$n^2$ も3の倍数である」となる。この対偶が真であることを示す。

$n$ が3の倍数であるとき、ある整数 $k$ を用いて、$n = 3k$ と表せる。

このとき、$n^2$ は、

$n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$

となる。

$3k^2$ は整数なので、$n^2$ は3の倍数である。

したがって、対偶「$n$ が3の倍数ならば、$n^2$ も3の倍数である」は真である。

対偶が真であるとき、元の命題も真であるから、命題「$n^2$ が3の倍数でなければ、$n$ は3の倍数でない」は真である。

3. 最終的な答え

$n$ が3の倍数ならば、$n^2$ も3の倍数であるため、対偶を用いて「$n^2$ が3の倍数でなければ、$n$ は3の倍数でない」ことを証明できた。

## 問題30

1. 問題の内容

$\sqrt{6}$ が無理数であることを用いて、$\sqrt{3} + \sqrt{2}$ が無理数であることを示せ。

2. 解き方の手順

背理法を用いる。$\sqrt{3} + \sqrt{2}$ が無理数でない、つまり有理数であると仮定する。

$\sqrt{3} + \sqrt{2} = r$ ($r$は有理数) とおく。

両辺を2乗すると、

$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = r^2$

$3 + 2\sqrt{6} + 2 = r^2$

$5 + 2\sqrt{6} = r^2$

$2\sqrt{6} = r^2 - 5$

$\sqrt{6} = \frac{r^2 - 5}{2}$

$r$ は有理数なので、$r^2$ も有理数であり、$r^2 - 5$ も有理数である。したがって、$\frac{r^2 - 5}{2}$ も有理数である。

これは、$\sqrt{6}$ が無理数であるという仮定に矛盾する。

したがって、$\sqrt{3} + \sqrt{2}$ は無理数である。

3. 最終的な答え

$\sqrt{3} + \sqrt{2}$ は無理数である。