この問題は、自然数 $n$ に対して、$n$ の約数の和を $s(n)$、$n$ 以下の自然数で $n$ と互いに素なものの個数を $g(n)$、そして $f(n) = s(n) - n$ と定義した上で、いくつかの問いに答えるものです。具体的には、$s(8)$ の値、$f(n) < n$ となる $n$ の選択、メルセンヌ素数の選択、そして正しい記述の選択を求められます。

1. 問題の内容

この問題は、自然数 $n$ に対して、$n$ の約数の和を $s(n)$、$n$ 以下の自然数で $n$ と互いに素なものの個数を $g(n)$、そして $f(n) = s(n) - n$ と定義した上で、いくつかの問いに答えるものです。具体的には、$s(8)$ の値、$f(n) < n$ となる $n$ の選択、メルセンヌ素数の選択、そして正しい記述の選択を求められます。

2. 解き方の手順

**第一問:** $s(8)$ の値を求める。

8の約数は1, 2, 4, 8なので、

$s(8) = 1 + 2 + 4 + 8 = 15$

**第二問:** $f(n) < n$ となる $n$ を求める。ここで$f(n) = s(n) - n$ なので、$s(n) - n < n$ すなわち $s(n) < 2n$ となる $n$ を探す。

* $n = 8$ のとき、$s(8) = 15$ なので、$15 < 2 \times 8 = 16$。よって $f(8) < 8$

* $n = 12$ のとき、$s(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28$ なので、$28 < 2 \times 12 = 24$は成り立たない。よって$f(12) > 12$

* $n = 3$ のとき、$s(3) = 1 + 3 = 4$ なので、$4 < 2 \times 3 = 6$。よって $f(3) < 3$

* $n = 6$ のとき、$s(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12$ なので、$12 < 2 \times 6 = 12$は成り立たない。よって$f(6) = 6$

したがって、$f(n) < n$ となるのは $n = 8$ と $n = 3$ です。

**第三問:** メルセンヌ素数を選ぶ。メルセンヌ素数とは、$2^p - 1$ の形で表される素数です。

* 7 = $2^3 - 1$ なので、メルセンヌ素数である。

* 15 = $3 \times 5$ で素数ではない。

* 17 は素数だが、 $2^p - 1$ の形ではない。

* 31 = $2^5 - 1$ なので、メルセンヌ素数である。

したがって、メルセンヌ素数は 7 と 31 です。

**第四問:** 正しい記述を選ぶ。

* 21 は完全数ではない。完全数とは、自分自身を除く約数の和が自分自身と等しい数である。21の自分自身を除く約数は1,3,7なので、その和は11となり、21と等しくない。

* 28 は完全数である。28の自分自身を除く約数は1,2,4,7,14なので、その和は1+2+4+7+14=28となり、28と等しい。

* $n$ と $m$ が互いに素な自然数ならば、$s(nm) = s(n)s(m)$ が成り立つ。$s(nm) = s(n) + s(m)$は一般には成立しない。

したがって、正しいのは「28は完全数である」と「$n$ と $m$ が互いに素な自然数ならば、$s(nm) = s(n)s(m)$ である」です。

3. 最終的な答え

* 第一問:

4. 15

* 第二問:

1. 8,

3. 3

* 第三問:

1. 7,

4. 31

* 第四問:

2. 28は完全数である。,

4. nとmが互いに素な自然数ならば、 s(nm) = s(n)s(m) である.