自然数 $n$ に対して、$2^{6n-5} + 3^{2n}$ が11で割り切れることを示す問題です。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、$2^{6n-5} + 3^{2n}$ が11で割り切れることを示す問題です。

2. 解き方の手順

数学的帰納法を用いて証明します。

(i) $n=1$ のとき:

$2^{6(1)-5} + 3^{2(1)} = 2^1 + 3^2 = 2 + 9 = 11$

11は11で割り切れるので、$n=1$ のとき成り立つ。

(ii) $n=k$ のとき成り立つと仮定する:

$2^{6k-5} + 3^{2k}$ が11で割り切れる、つまり、ある整数 $m$ を用いて

$2^{6k-5} + 3^{2k} = 11m$ と表せると仮定する。

(iii) $n=k+1$ のとき:

$2^{6(k+1)-5} + 3^{2(k+1)}$ が11で割り切れることを示す。

$2^{6(k+1)-5} + 3^{2(k+1)} = 2^{6k+6-5} + 3^{2k+2} = 2^{6k-5+6} + 3^{2k+2} = 2^{6k-5} \cdot 2^6 + 3^{2k} \cdot 3^2 = 2^{6k-5} \cdot 64 + 3^{2k} \cdot 9$

仮定より、$2^{6k-5} = 11m - 3^{2k}$ であるから、これを代入して

$2^{6(k+1)-5} + 3^{2(k+1)} = (11m - 3^{2k}) \cdot 64 + 3^{2k} \cdot 9 = 64 \cdot 11m - 64 \cdot 3^{2k} + 9 \cdot 3^{2k} = 64 \cdot 11m - 55 \cdot 3^{2k} = 11 (64m - 5 \cdot 3^{2k})$

$64m - 5 \cdot 3^{2k}$ は整数なので、$2^{6(k+1)-5} + 3^{2(k+1)}$ は11の倍数である。

したがって、$n=k+1$ のときも成り立つ。

(i), (ii), (iii) より、すべての自然数 $n$ に対して、$2^{6n-5} + 3^{2n}$ は11で割り切れる。

3. 最終的な答え

すべての自然数 $n$ に対して、$2^{6n-5} + 3^{2n}$ は11で割り切れる。