$n^2 + n$ が200の倍数となるような自然数 $n$ のうち、最も小さい数を求めよ。

1. 問題の内容

$n^2 + n$ が200の倍数となるような自然数 $n$ のうち、最も小さい数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$n^2 + n$ を因数分解します。

$n^2 + n = n(n+1)$

$n(n+1)$ が200の倍数であるということは、$n(n+1) = 200k$ （$k$は自然数）と表せることを意味します。

200を素因数分解すると、$200 = 2^3 \times 5^2 = 8 \times 25$ です。

$n(n+1)$ は連続する2つの自然数の積なので、どちらかが2の倍数であり、少なくとも一方が5の倍数になる必要があります。

$n(n+1)$ が200の倍数であるためには、$n$ または $n+1$ が 25 の倍数であるか、もしくは $n$と$n+1$ に 25 を構成する $5*5$ が分かれて含まれる必要があります。さらに、$n(n+1)$ のどちらかに 8 が含まれている必要があります。

$n=1$から順に調べていき、$n(n+1)$ が 200 の倍数になる最小の $n$ を見つけます。

* $n=1$: $n(n+1) = 1 \times 2 = 2$

* $n=2$: $n(n+1) = 2 \times 3 = 6$

* $n=3$: $n(n+1) = 3 \times 4 = 12$

* $n=4$: $n(n+1) = 4 \times 5 = 20$

* $n=5$: $n(n+1) = 5 \times 6 = 30$

* $n=15$: $n(n+1) = 15 \times 16 = 240$。これは 200 の倍数ではありません

* $n=24$: $n(n+1) = 24 \times 25 = 600 = 200 \times 3$

$n=24$のとき、$n(n+1) = 24 \times 25 = 600$となり、これは200の倍数です。

したがって、$n=24$ が求める最小の自然数です。

3. 最終的な答え

24