この問題は、まず素数を列挙するアルゴリズムの考案者を答える問題と、与えられた4つの命題の中から真であるものを全て選択する問題の2つがあります。

1. 問題の内容

この問題は、まず素数を列挙するアルゴリズムの考案者を答える問題と、与えられた4つの命題の中から真であるものを全て選択する問題の2つがあります。

2. 解き方の手順

まず、素数を列挙するアルゴリズムの考案者はエラトステネスです。したがって、選択肢の中からエラトステネスを選択します。

次に、4つの命題の真偽を判定します。

* 命題1: 開区間 $(n, 2n)$ 内に素数が1つも存在しないような正整数 $n$ が存在する。

$n=1$ とすると、$(1, 2)$ 内には素数が存在しません。したがって、命題1は真です。

* 命題2: 閉区間 $[n, 2n]$ 内に素数が1つも存在しないような正整数 $n$ が存在する。

$n=1$ とすると、$[1, 2]$ 内に素数2が存在します。

$n=2$ とすると、$[2, 4]$ 内に素数2, 3が存在します。

$n=3$ とすると、$[3, 6]$ 内に素数3, 5が存在します。

$n=4$ とすると、$[4, 8]$ 内に素数5, 7が存在します。

どんな $n$ に対しても、Bertrandの仮説より $[n, 2n]$ には素数が必ず存在するため、命題2は偽です。

* 命題3: 半開区間 $[n, 2n)$ 内に素数が1つも存在しないような正整数 $n$ が存在する。

$n=1$ とすると、$[1, 2)$ 内には素数が存在しません。したがって、命題3は真です。

* 命題4: 半開区間 $(n, 2n]$ 内に素数が1つも存在しないような正整数 $n$ が存在する。

$n=1$ とすると、$(1, 2]$ 内には素数2が存在します。

$n=2$ とすると、$(2, 4]$ 内に素数3が存在します。

$n=3$ とすると、$(3, 6]$ 内に素数5が存在します。

$n=4$ とすると、$(4, 8]$ 内に素数5, 7が存在します。

どんな $n$ に対しても、Bertrandの仮説より $(n, 2n]$ には素数が必ず存在するため、命題4は偽です。

3. 最終的な答え

素数を列挙するアルゴリズムの考案者：エラトステネス

真である命題：1と3