2つの整数367と153を自然数 $n$ で割ったとき、余りがそれぞれ7と9になるような自然数 $n$ は全部で何個あるか。

1. 問題の内容

2つの整数367と153を自然数 $n$ で割ったとき、余りがそれぞれ7と9になるような自然数 $n$ は全部で何個あるか。

2. 解き方の手順

整数367を自然数 $n$ で割ったときの余りが7であることから、

$367 = nq_1 + 7$ (ただし、$q_1$ は整数)と表せる。

したがって、$nq_1 = 367 - 7 = 360$ となる。つまり、$n$ は360の約数である。

同様に、整数153を自然数 $n$ で割ったときの余りが9であることから、

$153 = nq_2 + 9$ (ただし、$q_2$ は整数)と表せる。

したがって、$nq_2 = 153 - 9 = 144$ となる。つまり、$n$ は144の約数である。

よって、$n$ は360と144の公約数である。さらに、余りがそれぞれ7と9なので、$n$ は7より大きく、9より大きい必要がある。つまり、$n > 9$ である。

まず、360と144の最大公約数を求める。

$360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$

$144 = 2^4 \cdot 3^2$

最大公約数は $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$。

360と144の公約数は、最大公約数72の約数である。

72の約数は、1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 である。

これらのうち、$n > 9$ を満たすものは、12, 18, 24, 36, 72 である。

したがって、$n$ は全部で5個である。

3. 最終的な答え

5個