26以下の正の整数 $n$ のうち、3進法で表したときの下2桁の数字が、$n^2$ を3進法で表したときの下2桁の数字と一致するものが何個あるか求める問題です。ただし、10進法の1, 2を3進法で表した時の下2桁はそれぞれ01, 02であるとします。

1. 問題の内容

26以下の正の整数 $n$ のうち、3進法で表したときの下2桁の数字が、$n^2$ を3進法で表したときの下2桁の数字と一致するものが何個あるか求める問題です。ただし、10進法の1, 2を3進法で表した時の下2桁はそれぞれ01, 02であるとします。

2. 解き方の手順

$n$ が26以下の正の整数なので、$n = 1, 2, 3, ..., 26$ について、$n$ と $n^2$ を3進法で表した時の下2桁を調べ、一致するものを数えます。

$n$ と $n^2$ を3進法で表したときの下2桁が一致するということは、$n^2 \equiv n \pmod{9}$ を意味します。

これは、$n^2 - n = n(n-1)$ が9の倍数となる $n$ を探すことと同じです。

$n = 1$ のとき、$1^2 = 1$ なので、3進法の下2桁はそれぞれ01で一致します。

$n = 2$ のとき、$2^2 = 4$ なので、3進法の下2桁はそれぞれ02, 11で一致しません。

$n = 3$ のとき、$3^2 = 9$ なので、3進法の下2桁はそれぞれ10, 100で一致しません。(ただし、下2桁のみを見れば00であり、nも03とみなせば一致します。)

$n = 4$ のとき、$4^2 = 16$ なので、3進法の下2桁はそれぞれ11, 121で一致しません。

$n = 5$ のとき、$5^2 = 25$ なので、3進法の下2桁はそれぞれ12, 221で一致しません。

$n = 6$ のとき、$6^2 = 36$ なので、3進法の下2桁はそれぞれ20, 1100で一致しません。(ただし、下2桁のみを見れば00であり、nも20とみなせば一致します。)

$n = 7$ のとき、$7^2 = 49$ なので、$7(7-1) = 7 \times 6 = 42$。 $42 \div 9 = 4$ あまり $6$なので一致しません。

$n = 8$ のとき、$8^2 = 64$ なので、$8(8-1) = 8 \times 7 = 56$。 $56 \div 9 = 6$ あまり $2$なので一致しません。

$n = 9$ のとき、$n(n-1) = 9 \times 8 = 72$。 $72 \div 9 = 8$ なので割り切れます。$n = 9$ は $100_{3}$、$n^2 = 81$ は $10000_{3}$。下2桁は両方00なので一致します。

$n=10$ のとき、$10(9)=90$. $90 \div 9 = 10$なので一致します。$10 = 101_3$、$10^2 = 100 = 10201_3$。下2桁は一致しません。

$n$ が9の倍数のとき、$n = 9k$ ($k$は整数)とすると、$n(n-1) = 9k(9k-1)$となり9の倍数なので、$n^2 \equiv n \pmod{9}$が成り立ちます。26以下の9の倍数は9, 18です。

$n$ が9で割ると1余る数のとき、$n = 9k+1$ ($k$は整数)とすると、$n-1 = 9k$となり$n(n-1) = (9k+1)9k$となり9の倍数なので、$n^2 \equiv n \pmod{9}$が成り立ちます。26以下の9で割ると1余る数は1, 10, 19です。

$n=1$のとき3進法の下二桁は01、$n^2 = 1$も3進法で01なので一致。

$n=9$のとき、$9 = 100_3$、$81 = 10000_3$。下二桁は両方00で一致。

$n=10$のとき、$10=101_3$、$100 = 10201_3$。下二桁は01で一致。

$n=18$のとき、$18 = 200_3$、$324 = 110000_3$。下二桁は00で一致。

$n=19$のとき、$19 = 201_3$、$361 = 111101_3$。下二桁は01で一致。

従って、求める数は1, 9, 10, 18, 19の5個です。

3. 最終的な答え

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