円Oの外の点Aから円Oへの接線APを引き、直線AOと円Oの交点をAに近い順にQ, Rとする。円Oの半径が3, AP=4のとき、PRの長さを求める問題。

## (3) の問題

1. 問題の内容

円Oの外の点Aから円Oへの接線APを引き、直線AOと円Oの交点をAに近い順にQ, Rとする。円Oの半径が3, AP=4のとき、PRの長さを求める問題。

2. 解き方の手順

* 方べきの定理より、$AP^2 = AQ \cdot AR$

* 円Oの半径が3なので、$AR = AO + OR = AO + 3$、$AQ = AO - OQ = AO - 3$

* $AP=4$ なので、 $4^2 = (AO - 3)(AO + 3)$

* $16 = AO^2 - 9$

* $AO^2 = 25$

* $AO = 5$

* $\triangle APO$ は直角三角形なので、三平方の定理より、$OP^2 + AP^2 = AO^2$、つまり $3^2 + 4^2 = 5^2$

* $\angle APO = 90^{\circ}$

* $\angle APR = \theta$ とすると、$\angle OPR = 90^{\circ} - \theta$

* $\triangle OPR$ は $OP=OR$ の二等辺三角形なので、$\angle ORP = \angle OPR = 90^{\circ} - \theta$

* $\angle POR = 180^{\circ} - 2(90^{\circ} - \theta) = 2\theta$

* $\angle PAQ = \theta$ である

* $\triangle APO$ において、$\sin(\angle PAO) = \frac{OP}{AO} = \frac{3}{5}$

* $\triangle APQ$ において、$\cos(\angle PAQ) = \frac{AQ}{AP} = \frac{AO-OQ}{AP} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。 よって$\angle PAQ = 60^{\circ}$

* $\angle AOR = 180 - \angle OAR - \angle ORA = 180 - 60 - 60 = 60^\circ$

* $\angle POR = 180 - 2 \angle ORP$

* $PR = 2 \cdot OP \sin(\angle POR / 2)$

* $\angle POR = 2\theta$ を考えると $\angle PAO = \theta$ であるので, $\sin (\angle PAO) = \frac{3}{5}$より $\theta = \sin^{-1}(\frac{3}{5})$

* $\angle PRQ = \angle PAQ = \angle OAR = 60^\circ$

* $\angle ORP = \angle OPR = 60$度になるので、三角形PORは正三角形になる. よって$\angle AOR = 2\angle APO = 3/5$

* $PR = 2\sqrt{OP^2 - OA^2 \cos^2{\theta}}$, $\cos{\theta} = \frac{AO^2 + AP^2 -OP^2}{2 AO \cdot AP} = \frac{25+16-9}{2\times 5 \times 4} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}$, $PR = \frac{12}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{12\sqrt{5}}{5}$

## (4) の問題

1. 問題の内容

26以下の正の整数nのうち、3進法で表したときの下2桁の数字が$n^2$を3進法で表したときの下2桁の数字と一致するものの個数を求める問題。ただし、10進法の1, 2を3進法で表した時の下2桁はそれぞれ01, 02であるとする。

2. 解き方の手順

$n$を3進法で表した下2桁が $n^2$ を3進法で表した下2桁と一致するものを探す。

$n < 27$であるから$n = a \times 3 + b$, $0 <=a <9$, $0 <= b <3$となる.

$n=1,2,3, \cdots, 26$に対して、$n \pmod{9}$と$n^2 \pmod{9}$を計算する。下2桁が一致するということはmod 9で一致することと同義である。

* n=1: $1 \equiv 1 \pmod 9, 1^2 = 1 \equiv 1 \pmod 9$

* n=2: $2 \equiv 2 \pmod 9, 2^2 = 4 \equiv 4 \pmod 9$

* n=3: $3 \equiv 3 \pmod 9, 3^2 = 9 \equiv 0 \pmod 9$

* n=4: $4 \equiv 4 \pmod 9, 4^2 = 16 \equiv 7 \pmod 9$

* n=5: $5 \equiv 5 \pmod 9, 5^2 = 25 \equiv 7 \pmod 9$

* n=6: $6 \equiv 6 \pmod 9, 6^2 = 36 \equiv 0 \pmod 9$

* n=7: $7 \equiv 7 \pmod 9, 7^2 = 49 \equiv 4 \pmod 9$

* n=8: $8 \equiv 8 \pmod 9, 8^2 = 64 \equiv 1 \pmod 9$

* n=9: $9 \equiv 0 \pmod 9, 9^2 = 81 \equiv 0 \pmod 9$

* n=10: $10 \equiv 1 \pmod 9, 10^2 = 100 \equiv 1 \pmod 9$

* n=11: $11 \equiv 2 \pmod 9, 11^2 = 121 \equiv 4 \pmod 9$

* n=12: $12 \equiv 3 \pmod 9, 12^2 = 144 \equiv 0 \pmod 9$

* n=13: $13 \equiv 4 \pmod 9, 13^2 = 169 \equiv 7 \pmod 9$

* n=14: $14 \equiv 5 \pmod 9, 14^2 = 196 \equiv 7 \pmod 9$

* n=15: $15 \equiv 6 \pmod 9, 15^2 = 225 \equiv 0 \pmod 9$

* n=16: $16 \equiv 7 \pmod 9, 16^2 = 256 \equiv 4 \pmod 9$

* n=17: $17 \equiv 8 \pmod 9, 17^2 = 289 \equiv 1 \pmod 9$

* n=18: $18 \equiv 0 \pmod 9, 18^2 = 324 \equiv 0 \pmod 9$

* n=19: $19 \equiv 1 \pmod 9, 19^2 = 361 \equiv 1 \pmod 9$

* n=20: $20 \equiv 2 \pmod 9, 20^2 = 400 \equiv 4 \pmod 9$

* n=21: $21 \equiv 3 \pmod 9, 21^2 = 441 \equiv 0 \pmod 9$

* n=22: $22 \equiv 4 \pmod 9, 22^2 = 484 \equiv 7 \pmod 9$

* n=23: $23 \equiv 5 \pmod 9, 23^2 = 529 \equiv 7 \pmod 9$

* n=24: $24 \equiv 6 \pmod 9, 24^2 = 576 \equiv 0 \pmod 9$

* n=25: $25 \equiv 7 \pmod 9, 25^2 = 625 \equiv 4 \pmod 9$

* n=26: $26 \equiv 8 \pmod 9, 26^2 = 676 \equiv 1 \pmod 9$

一致するものは、$n = 1, 9, 10, 18, 19$の5つ。

3. 最終的な答え

5