与えられた選択肢の中から、正しいものを全て選ぶ問題です。 選択肢は以下の4つです。 (1) 無理数と無理数の差は常に無理数である。 (2) 有理数と有理数の差は常に有理数である。 (3) 無理数と無理数の商は常に無理数である。 (4) 有理数と無理数の商は常に無理数である。

1. 問題の内容

与えられた選択肢の中から、正しいものを全て選ぶ問題です。

選択肢は以下の4つです。

(1) 無理数と無理数の差は常に無理数である。

(2) 有理数と有理数の差は常に有理数である。

(3) 無理数と無理数の商は常に無理数である。

(4) 有理数と無理数の商は常に無理数である。

2. 解き方の手順

各選択肢について、具体例を挙げて検証します。

(1) 無理数と無理数の差は常に無理数である。

これは誤りです。例えば、$\sqrt{2}$ は無理数ですが、$\sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$ は有理数です。

(2) 有理数と有理数の差は常に有理数である。

これは正しいです。有理数は分数で表せる数です。二つの有理数 $a/b$ と $c/d$（$a, b, c, d$ は整数、$b, d \neq 0$）の差は、

$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$

となり、$ad - bc$ と $bd$ は整数で、$bd \neq 0$ なので、この差も有理数です。

(3) 無理数と無理数の商は常に無理数である。

これは誤りです。例えば、$\sqrt{2}$ は無理数ですが、$\sqrt{2} / \sqrt{2} = 1$ は有理数です。

(4) 有理数と無理数の商は常に無理数である。ただし、有理数は0でないとします。

これは正しいです。有理数を $a$ （ただし、$a \ne 0$）、無理数を $b$ とします。$a/b$ が有理数であると仮定すると、$a/b = c/d$ となる整数 $c, d$ ($d \ne 0$) が存在することになります。このとき、$b = (ad)/c$ となりますが、$a, d, c$ が整数で $c \ne 0$ より、$(ad)/c$ は有理数となります。これは $b$ が無理数であることに矛盾します。したがって、$a/b$ は無理数です。同様に $b/a$ が有理数とすると $b=a \times (c/d) = (ac/d)$となり、$b$が有理数となるので矛盾します。

ただし、有理数に0を含む場合は異なります。たとえば、0は有理数ですが、0/無理数は0となり有理数です。

3. 最終的な答え

正しい選択肢は、(2)です。