与えられた問題は、余りの計算2問、1次合同式の計算2問、不定方程式の整数解を求める問題2問の計6問です。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

与えられた問題は、余りの計算2問、1次合同式の計算2問、不定方程式の整数解を求める問題2問の計6問です。

2. 解き方の手順

1. 2の100乗を15で割った余り

$2^4 = 16 \equiv 1 \pmod{15}$ であることを利用します。

$2^{100} = (2^4)^{25} \equiv 1^{25} \equiv 1 \pmod{15}$

2. 2025の620乗を4で割った余り

$2025 \equiv 1 \pmod{4}$ であることを利用します。

$2025^{620} \equiv 1^{620} \equiv 1 \pmod{4}$

3. $4x \equiv 3 \pmod{5}$

$4x \equiv 3 \pmod{5}$

$-x \equiv 3 \pmod{5}$

$x \equiv -3 \equiv 2 \pmod{5}$

4. $17x \equiv 3 \pmod{29}$

まず、17の逆数をmod 29で求めます。

$17x \equiv 3 \pmod{29}$

ユークリッドの互除法を使って計算します。

$29 = 17 \times 1 + 12$

$17 = 12 \times 1 + 5$

$12 = 5 \times 2 + 2$

$5 = 2 \times 2 + 1$

$1 = 5 - 2 \times 2 = 5 - 2 \times (12 - 5 \times 2) = 5 \times 5 - 2 \times 12 = 5 \times (17 - 12 \times 1) - 2 \times 12 = 5 \times 17 - 7 \times 12 = 5 \times 17 - 7 \times (29 - 17 \times 1) = 12 \times 17 - 7 \times 29$

したがって、$12 \times 17 \equiv 1 \pmod{29}$

よって、17の逆数は12 (mod 29)

$17x \equiv 3 \pmod{29}$ の両辺に12をかけると

$12 \times 17x \equiv 12 \times 3 \pmod{29}$

$x \equiv 36 \equiv 7 \pmod{29}$

5. $3x - 7y = 1$

特殊解を1つ見つけます。

$3x - 7y = 1$

$x = -2$, $y = -1$ は解の一つです。

よって、$3(-2) - 7(-1) = -6 + 7 = 1$

一般解は、$x = -2 + 7k$, $y = -1 + 3k$

6. $5x + 8y = 3$

特殊解を1つ見つけます。

$5x + 8y = 1$

$5(-3) + 8(2) = -15 + 16 = 1$

$5(-9) + 8(6) = 3$

よって、$x = -9 + 8k$, $y = 6 - 5k$

3. 最終的な答え

1. 1

2. 1

3. $x \equiv 2 \pmod{5}$

4. $x \equiv 7 \pmod{29}$

5. $x = 7k - 2$, $y = 3k - 1$

6. $x = 8k - 9$, $y = -5k + 6$