$\sqrt{5}$が無理数であることを利用して、$2 - \sqrt{5}$が無理数であることを証明する問題です。与えられた証明の空欄を埋めます。

1. 問題の内容

$\sqrt{5}$が無理数であることを利用して、$2 - \sqrt{5}$が無理数であることを証明する問題です。与えられた証明の空欄を埋めます。

2. 解き方の手順

まず、$2 - \sqrt{5}$が無理数でないと仮定しています。これは、$2 - \sqrt{5}$が有理数であるということを意味します。したがって、最初の空欄シには「有理数」が入ります。

次に、ある有理数$r$を用いて、$2 - \sqrt{5} = r$とおきます。この式を$\sqrt{5}$について解くと、

$\sqrt{5} = 2 - r$

となります。したがって、空欄スには「$2 - r$」が入ります。

ここで、$r$は有理数であるから、$2 - r$も有理数です。つまり、$\sqrt{5}$も有理数であることになります。しかし、$\sqrt{5}$は無理数であるという前提と矛盾します。したがって、最後の空欄セには「有理数」が入ります。

3. 最終的な答え

シ：① 有理数

ス：③ $2 - r$

セ：① 有理数