$n$ が自然数のとき、$2n^3 + 3n^2 + n$ が6の倍数であることを数学的帰納法で証明する。

1. 問題の内容

$n$ が自然数のとき、$2n^3 + 3n^2 + n$ が6の倍数であることを数学的帰納法で証明する。

2. 解き方の手順

(1) $n=1$ のとき、$2n^3 + 3n^2 + n = 2(1)^3 + 3(1)^2 + 1 = 2 + 3 + 1 = 6$ となり、6の倍数である。よって、$n=1$ のとき成り立つ。

(2) $n=k$ のとき、$2k^3 + 3k^2 + k$ が6の倍数であると仮定する。つまり、ある整数 $m$ を用いて、

$2k^3 + 3k^2 + k = 6m$

と表せると仮定する。

(3) $n=k+1$ のとき、$2n^3 + 3n^2 + n$ が6の倍数となることを示す。

$n=k+1$ のとき、

\begin{align*} 2(k+1)^3 + 3(k+1)^2 + (k+1) &= 2(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + 3(k^2 + 2k + 1) + (k + 1) \\ &= 2k^3 + 6k^2 + 6k + 2 + 3k^2 + 6k + 3 + k + 1 \\ &= 2k^3 + 9k^2 + 13k + 6 \\ &= (2k^3 + 3k^2 + k) + (6k^2 + 12k + 6) \\ &= (2k^3 + 3k^2 + k) + 6(k^2 + 2k + 1) \\ &= 6m + 6(k^2 + 2k + 1) \\ &= 6(m + k^2 + 2k + 1)\end{align*}

$m + k^2 + 2k + 1$ は整数なので、$2(k+1)^3 + 3(k+1)^2 + (k+1)$ は6の倍数である。

(1), (2), (3)より、数学的帰納法によって、すべての自然数 $n$ について、$2n^3 + 3n^2 + n$ は6の倍数である。

3. 最終的な答え

$n$ が自然数のとき、$2n^3 + 3n^2 + n$ は6の倍数である。