袋Aには赤玉1個と白玉3個、袋Bには赤玉2個と白玉2個、袋Cには赤玉3個と白玉1個が入っています。 (1) 袋を1つ選び、球を1個取り出したとき、赤玉が出る確率を求めます。 (2) 取り出した赤玉が袋Aの赤玉である確率を求めます。

1. 問題の内容

袋Aには赤玉1個と白玉3個、袋Bには赤玉2個と白玉2個、袋Cには赤玉3個と白玉1個が入っています。

(1) 袋を1つ選び、球を1個取り出したとき、赤玉が出る確率を求めます。

(2) 取り出した赤玉が袋Aの赤玉である確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、各袋が選ばれる確率はすべて等しく $1/3$です。

次に、各袋から赤玉が出る確率を求めます。

- 袋Aから赤玉が出る確率：$1/4$

- 袋Bから赤玉が出る確率：$2/4 = 1/2$

- 袋Cから赤玉が出る確率：$3/4$

全確率の公式を用いて、赤玉が出る確率を計算します。

赤玉が出る確率は、袋Aを選んで赤玉が出る確率、袋Bを選んで赤玉が出る確率、袋Cを選んで赤玉が出る確率の和になります。

$P(\text{赤}) = P(\text{Aを選ぶ})P(\text{赤}|\text{A}) + P(\text{Bを選ぶ})P(\text{赤}|\text{B}) + P(\text{Cを選ぶ})P(\text{赤}|\text{C})$

$P(\text{赤}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

$P(\text{赤}) = \frac{1}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{1}{12} + \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

(2)

ベイズの定理を用いて、赤玉が袋Aから取り出された確率を求めます。

$P(\text{A}|\text{赤}) = \frac{P(\text{赤}|\text{A})P(\text{A})}{P(\text{赤})}$

$P(\text{A}|\text{赤}) = \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{12} \cdot 2 = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

(1) 赤玉が出る確率: $\frac{1}{2}$

(2) 取り出した赤玉が袋Aの赤玉である確率: $\frac{1}{6}$