1個のサイコロを $n$ 回投げたとき、1の目が出る回数を $X$ とします。$|\frac{X}{n} - \frac{1}{6}| \le 0.03$ となる確率が $0.95$ 以上になるためには、$n$ をどのくらい大きくすればよいか、10未満を切り上げて答える問題です。

1. 問題の内容

1個のサイコロを $n$ 回投げたとき、1の目が出る回数を $X$ とします。$|\frac{X}{n} - \frac{1}{6}| \le 0.03$ となる確率が $0.95$ 以上になるためには、$n$ をどのくらい大きくすればよいか、10未満を切り上げて答える問題です。

2. 解き方の手順

$X$ は二項分布 $B(n, \frac{1}{6})$ に従います。したがって、$X$ の期待値は $E(X) = \frac{n}{6}$ 、分散は $V(X) = n \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5n}{36}$ となります。

中心極限定理により、$n$ が大きいとき、$X$ は近似的に正規分布 $N(\frac{n}{6}, \frac{5n}{36})$ に従います。

したがって、$\frac{X}{n}$ は近似的に正規分布 $N(\frac{1}{6}, \frac{5}{36n})$ に従います。

$Z = \frac{\frac{X}{n} - \frac{1}{6}}{\sqrt{\frac{5}{36n}}}$ とおくと、$Z$ は標準正規分布 $N(0, 1)$ に近似的に従います。

問題の条件は $P(|\frac{X}{n} - \frac{1}{6}| \le 0.03) \ge 0.95$ です。これは $P(-0.03 \le \frac{X}{n} - \frac{1}{6} \le 0.03) \ge 0.95$ と同値です。

$P(-\frac{0.03}{\sqrt{\frac{5}{36n}}} \le Z \le \frac{0.03}{\sqrt{\frac{5}{36n}}}) \ge 0.95$

標準正規分布表より、$P(-1.96 \le Z \le 1.96) = 0.95$ です。

したがって、$\frac{0.03}{\sqrt{\frac{5}{36n}}} \ge 1.96$ である必要があります。

$\frac{0.03}{\sqrt{\frac{5}{36n}}} \ge 1.96$ を解くと、

$0.03 \ge 1.96 \cdot \sqrt{\frac{5}{36n}}$

$(0.03)^2 \ge (1.96)^2 \cdot \frac{5}{36n}$

$n \ge \frac{(1.96)^2 \cdot 5}{36 \cdot (0.03)^2}$

$n \ge \frac{3.8416 \cdot 5}{36 \cdot 0.0009}$

$n \ge \frac{19.208}{0.0324}$

$n \ge 592.8395...$

10未満を切り上げるので、$n \ge 600$ となります。

3. 最終的な答え

600