$n$個のサイコロを同時に投げるとき、以下の確率を求めます。ただし、$n$は2以上の自然数とします。 (1) 出る目の最小値が3である確率 (2) 出る目の最小値が3で、最大値が5である確率

## 数学の問題

1. 問題の内容

$n$個のサイコロを同時に投げるとき、以下の確率を求めます。ただし、$n$は2以上の自然数とします。

(1) 出る目の最小値が3である確率

(2) 出る目の最小値が3で、最大値が5である確率

2. 解き方の手順

(1) 出る目の最小値が3である確率

* すべてのサイコロの目が3以上である確率から、すべてのサイコロの目が4以上である確率を引きます。

* すべてのサイコロの目が3以上である確率は、各サイコロの目が3, 4, 5, 6のいずれかである確率なので、$(4/6)^n = (2/3)^n$です。

* すべてのサイコロの目が4以上である確率は、各サイコロの目が4, 5, 6のいずれかである確率なので、$(3/6)^n = (1/2)^n$です。

したがって、求める確率は

$\qquad (2/3)^n - (1/2)^n$

(2) 出る目の最小値が3で、最大値が5である確率

* すべてのサイコロの目が3以上5以下である確率から、以下の2つの確率を引きます。

* すべてのサイコロの目が4以上5以下である確率

* すべてのサイコロの目が3以上4以下である確率

* ただし、このままでは「すべてのサイコロの目が4である確率」を2回引いているので、最後にこれを足し戻します。

* すべてのサイコロの目が3以上5以下である確率は、各サイコロの目が3, 4, 5のいずれかである確率なので、$(3/6)^n = (1/2)^n$です。

* すべてのサイコロの目が4以上5以下である確率は、各サイコロの目が4, 5のいずれかである確率なので、$(2/6)^n = (1/3)^n$です。

* すべてのサイコロの目が3以上4以下である確率は、各サイコロの目が3, 4のいずれかである確率なので、$(2/6)^n = (1/3)^n$です。

* すべてのサイコロの目が4である確率は、各サイコロの目が4である確率なので、$(1/6)^n$です。

したがって、求める確率は

$\qquad (1/2)^n - (1/3)^n - (1/3)^n + (1/6)^n = (1/2)^n - 2(1/3)^n + (1/6)^n$

3. 最終的な答え

(1) 出る目の最小値が3である確率： $\qquad (2/3)^n - (1/2)^n$

(2) 出る目の最小値が3で、最大値が5である確率： $\qquad (1/2)^n - 2(1/3)^n + (1/6)^n$