1から7までの番号がついた7個の玉が入っている袋から玉を1個取り出し、元に戻すという試行を $n$ 回行う。得られる $n$ 個の数の和が奇数である確率を $p_n$ とする。 (1) $p_{n+1}$ を $p_n$ を用いて表せ。 (2) $p_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

1から7までの番号がついた7個の玉が入っている袋から玉を1個取り出し、元に戻すという試行を $n$ 回行う。得られる $n$ 個の数の和が奇数である確率を $p_n$ とする。

(1) $p_{n+1}$ を $p_n$ を用いて表せ。

(2) $p_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $n+1$ 回の試行で数の和が奇数になるのは、以下の2つの場合がある。

* $n$ 回の試行で数の和が奇数であり、 $n+1$ 回目の試行で偶数の玉が出る。

* $n$ 回の試行で数の和が偶数であり、 $n+1$ 回目の試行で奇数の玉が出る。

$n+1$ 回目の試行で偶数の玉が出る確率は $\frac{3}{7}$ であり、奇数の玉が出る確率は $\frac{4}{7}$ である。

したがって、

$p_{n+1} = p_n \cdot \frac{3}{7} + (1-p_n) \cdot \frac{4}{7} = \frac{3}{7}p_n + \frac{4}{7} - \frac{4}{7}p_n = \frac{4}{7} - \frac{1}{7}p_n$

よって、

$p_{n+1} = -\frac{1}{7}p_n + \frac{4}{7}$

(2) (1)で求めた漸化式を解く。

$p_{n+1} = -\frac{1}{7}p_n + \frac{4}{7}$

特性方程式 $x = -\frac{1}{7}x + \frac{4}{7}$ を解くと、$x = \frac{1}{2}$

$p_{n+1} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{7}(p_n - \frac{1}{2})$

数列 $\{p_n - \frac{1}{2}\}$ は、初項 $p_1 - \frac{1}{2}$、公比 $-\frac{1}{7}$ の等比数列である。

$p_1$ は1回の試行で奇数が出る確率なので、$p_1 = \frac{4}{7}$

$p_1 - \frac{1}{2} = \frac{4}{7} - \frac{1}{2} = \frac{8 - 7}{14} = \frac{1}{14}$

よって、

$p_n - \frac{1}{2} = \frac{1}{14} \cdot (-\frac{1}{7})^{n-1}$

$p_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{14} \cdot (-\frac{1}{7})^{n-1}$

3. 最終的な答え

(1) $p_{n+1} = -\frac{1}{7}p_n + \frac{4}{7}$

(2) $p_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{14} (-\frac{1}{7})^{n-1}$