問題1は、20個のデータから、平均値、中央値、最頻値、第1四分位数、第3四分位数、四分位範囲、四分位偏差、分散を求める問題です。 問題2は、箱ひげ図から読み取れる情報を選択肢から選択する問題です。 問題3は、xとyのデータから、共分散と相関係数を求める問題です。

1. 問題の内容

問題1は、20個のデータから、平均値、中央値、最頻値、第1四分位数、第3四分位数、四分位範囲、四分位偏差、分散を求める問題です。

問題2は、箱ひげ図から読み取れる情報を選択肢から選択する問題です。

問題3は、xとyのデータから、共分散と相関係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題1：

(1) 平均値：データの総和をデータの個数で割る。

$平均値 = \frac{3+4+4+4+4+5+6+6+6+6+6+7+8+9+9+9+10+10+12+12}{20} = \frac{140}{20} = 7$

(2) 中央値：データを小さい順に並べたとき、中央に位置する値。データの個数が偶数の場合は、中央の2つの値の平均。

データの個数が20なので、中央値は10番目と11番目の値の平均。

10番目の値は6、11番目の値は6なので、

$中央値 = \frac{6+6}{2} = 6$

(3) 最頻値：最も多く出現する値。

6が最も多く（6回）出現するので、

$最頻値 = 6$

(4) 第1四分位数：データを小さい順に並べたとき、下位25%に位置する値。

$第1四分位数 = \frac{4+4}{2}=4$

(5) 第3四分位数：データを小さい順に並べたとき、上位25%に位置する値。

$第3四分位数 = \frac{9+9}{2}=9$

(6) 四分位範囲：第3四分位数から第1四分位数を引いた値。

$四分位範囲 = 9 - 4 = 5$

(7) 四分位偏差：四分位範囲を2で割った値。

$四分位偏差 = \frac{5}{2} = 2.5$

(8) 分散：各データと平均値の差の二乗の平均。

$分散 = \frac{(3-7)^2 + 4(4-7)^2 + 5(6-7)^2 + (7-7)^2 + (8-7)^2 + 3(9-7)^2 + 2(10-7)^2 + 2(12-7)^2}{20} = \frac{16+36+5+1+12+18+50}{20} = \frac{138}{20} = 6.9$

問題2：

箱ひげ図から、

- テストAの最小値は約40、最大値は約82、中央値は約65、第1四分位数は約55、第3四分位数は約75

- テストBの最小値は約45、最大値は約72、中央値は約60、第1四分位数は約50、第3四分位数は約70

上記の情報から、選択肢を判断する。

1. テストAの点数が60点未満の生徒は50人より多い。→　誤り

2. テストBの点数が70点以上の生徒は25人以下である。→　正しい

3. 40点台の生徒の数は、テストAの方が多い。→　誤り

4. テストAの最高点はテストBの最高点より10点以上高い。→ 正しい

5. テストBの平均点は60点より低い。→正しい

したがって、選択肢2, 4, 5が正しい。

問題3：

(10) 共分散：

まず、xとyの平均を計算する。

$\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3$

$\bar{y} = \frac{3+4+1+2+5}{5} = 3$

共分散は、各データについて $(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ を計算し、その平均を求める。

$共分散 = \frac{(1-3)(3-3) + (2-3)(4-3) + (3-3)(1-3) + (4-3)(2-3) + (5-3)(5-3)}{5} = \frac{0 - 1 + 0 - 1 + 4}{5} = \frac{2}{5} = 0.4$

(11) 相関係数：

相関係数は、共分散をxとyの標準偏差の積で割ったもの。

xの標準偏差：

$xの分散 = \frac{(1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^2}{5} = \frac{4+1+0+1+4}{5} = \frac{10}{5} = 2$

$xの標準偏差 = \sqrt{2} \approx 1.414$

yの標準偏差：

$yの分散 = \frac{(3-3)^2 + (4-3)^2 + (1-3)^2 + (2-3)^2 + (5-3)^2}{5} = \frac{0+1+4+1+4}{5} = \frac{10}{5} = 2$

$yの標準偏差 = \sqrt{2} \approx 1.414$

$相関係数 = \frac{共分散}{xの標準偏差 * yの標準偏差} = \frac{0.4}{\sqrt{2} * \sqrt{2}} = \frac{0.4}{2} = 0.2$

3. 最終的な答え

問題1：

(1) 平均値: 7

(2) 中央値: 6

(3) 最頻値: 6

(4) 第1四分位数: 4

(5) 第3四分位数: 9

(6) 四分位範囲: 5

(7) 四分位偏差: 2.5

(8) 分散: 6.9

問題2：

2, 4, 5

問題3：

(10) 共分散: 0.4

(11) 相関係数: 0.2