ボタンを押すと、画面に1, 2, 3のいずれかの数が確率 $2a$, $b$, $a$ で表示される機械がある。ただし、$a \geq 0$, $b \geq 0$である。ボタンを2回押したときに表示される数のうち小さくない方の数をXとする。 (1) $X=2$となる確率を$a$, $b$で表す。 (2) Xの期待値を$a$, $b$で表す。 (3) $b$を$a$で表す。 (4) $b \geq 0$であることに注意して、$a$の範囲を求める。

1. 問題の内容

ボタンを押すと、画面に1, 2, 3のいずれかの数が確率 $2a$, $b$, $a$ で表示される機械がある。ただし、$a \geq 0$, $b \geq 0$である。ボタンを2回押したときに表示される数のうち小さくない方の数をXとする。

(1) $X=2$となる確率を$a$, $b$で表す。

(2) Xの期待値を$a$, $b$で表す。

(3) $b$を$a$で表す。

(4) $b \geq 0$であることに注意して、$a$の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $X=2$となるのは、(1,2), (2,1), (2,2) のいずれかの場合である。

これらの確率はそれぞれ$2ab$, $2ab$, $b^2$である。

したがって、$X=2$となる確率は、$2ab+b^2$である。

よって、ア=2、イ=1

(2) Xが取りうる値は1, 2, 3である。

$P(X=1) = (2a)^2 = 4a^2$

$P(X=2) = 2ab+b^2$ （上記参照）

$P(X=3)$となるのは、(1,3), (3,1), (2,3), (3,2), (3,3) のいずれかの場合である。

これらの確率はそれぞれ$2a^2$, $2a^2$, $ba$, $ba$, $a^2$である。

したがって、$P(X=3) = 4a^2+2ab+a^2 = a^2 + 2ab + a^2=5a^2+2ab+a^2 = 5a^2+2ab+a^2 = a^2+2a*a+a^2$。

$P(X=3)=a^2+2ab+a^2 =a^2 +2a*a+a^2=5a^2+2a*a$.

確率は合計で1となるので、$4a^2+2ab+b^2+5a^2 +2a*a = a^2 +2ab =$

$2a+b+a=1$より、$3a+b =1$である。よって、$b=1-3a$。

$4a^2 + 2ab + b^2 =4a^2 + 2a(1-3a) + (1-3a)^2 = 4a^2+2a-6a^2 +1-6a+9a^2 = 7a^2 - 4a +1$

$P(X=3)=5a^2+2ab = a^2 +2a*a$.

よって、$X=1*4a^2 + 2*(2ab+b^2)+ 3*(a^2 +2ab)$.

=4a^2+4ab+2b^2+3a^2 + 6ab =7a^2 + 10ab+2b^2 = 7a^2 +10a(1-3a) +2(1-3a)^2$.

Xの期待値 $= 1 \cdot (2a)^2 + 2 \cdot (2ab + b^2) + 3 \cdot (a^2 + 2ab + a^2) = 4a^2 + 4ab + 2b^2 + 3 \cdot a^2 + 6ab =7a^2+ 10ab+a^2 =7a^2 +10ab+2b^2 =4a^2+ 2(2ab+ b^2)+ 3*(5a^2 +2ab)$.

$= 4a^2+2ab +b^2 +5a^2 +2ab + 6ab +3*5a^2$

= 7a^2 + 2b^2 +10ab.

$P(X=3) = (a+b)(a+b) + 2ab$ = $b^2 +2ab$.

よって、ウエ=4, オカ=0, キ=0

$X = 1*4a^2 + 2*2ab + b^2 + 3a^2*2 =$

$P(X=3) = 5a^2 + 2ab$.

よって、ウエ=5, オカ = 14, キ=0

(3) $2a+b+a=1$より、$3a+b=1$だから、$b=-3a+1$

よって、ク=3、ケ=1

(4) $b=-3a+1 \geq 0$より、$3a \leq 1$だから、$a \leq \frac{1}{3}$

また、$a \geq 0$なので、$0 \leq a \leq \frac{1}{3}$

よって、コ=1、サ=3

3. 最終的な答え

ア=2

イ=1

ウエ=7

オカ=10

キ=2

ク=3

ケ=1

コ=1

サ=3